Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH (H thuộc BC)

a) Ta có:
$\angle AHD = \angle A = \angle CED$ (do $AH \parallel CE$ và $HD = HA$)
$\angle HAD = \angle C = \angle EBD$ (do $AD \parallel BE$ và $AD = BE$)
Vậy tam giác BED đồng dạng với tam giác ADC.
Gọi $x = BD = AE$. Ta có $AB = AC - BC = AC - x$.
Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
$\frac{BE}{ED} = \frac{AB}{AD} = \frac{AC - x}{AC}$
$\frac{x}{x + HD} = \frac{AC - x}{AC}$
$x = \frac{AC \cdot HD}{AC + HD} = \frac{m \cdot HD}{m + 1}$

b) Ta có $M$ là trung điểm của $BE$ nên $BM = ME = \frac{m}{2} \cdot HD$.
Do đó, tam giác $BHM$ đồng dạng với tam giác $BEC$.
Gọi $\angle AHM = \alpha$, ta có:
$\angle BHM = \angle BEC = 90^\circ - \angle ECB = 90^\circ - \angle A = \angle HAC$
$\angle BHM = \angle HAC = \angle HAM = \alpha$
Vậy $\angle AHM = \alpha$.

c) Áp dụng định lý Tam giác đồng dạng ta có:
$\frac{GB}{BC} = \frac{AM}{MC} = \frac{AH + HD}{HC} = \frac{HD}{AH} + \frac{HC}{AH} = \frac{HD}{AH} + 1$
Vậy $GB/BC=HD/AH+HC$.