Để chứng minh rằng \(ID = IE\), ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác.

Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\), ta có:
\[\angle ABD = \angle DBC\]

Vì \(CE\) là tia phân giác của góc \(ACB\), ta có:
\[\angle ACE = \angle ECB\]

Vì \(\angle ABC = 60^\circ\), ta có:
\[\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 60^\circ - \angle DBC\]

Vì \(\angle ACB = 60^\circ\), ta có:
\[\angle ACE = \angle ACB - \angle ECB = 60^\circ - \angle ECB\]

Do đó:
\[\angle DBC + \angle ECB = 60^\circ\]

Như vậy, ta có:
\[\angle BDI = \angle DBC + \angle IBC = \angle DBC + \angle ECB = 60^\circ\]

Tương tự, ta cũng có:
\[\angle CEI = \angle ECB + \angle ICB = \angle ECB + \angle DBC = 60^\circ\]

Vậy ta có:
\[\angle BDI = \angle CEI = 60^\circ\]

Do đó, tam giác \(BDI\) và \(CEI\) là hai tam giác đều.

Vậy ta có \(ID = IE\).