1) Ta có BD = CE (đề bài) và ∠BMD = ∠CNE (do BM ⊥ BC và CN ⊥ BC), nên hai tam giác BMD và CNE đồng dạng. Do đó, ta có MD/NE = BD/CE = 1, suy ra MD = NE.

2) Ta có MD = NE (đã chứng minh ở câu 1) và ∠MID = ∠NIE = 90° (vì MI ⊥ BC và NI ⊥ BC), nên hai tam giác MID và NIE đồng dạng theo góc vuông chung. Do đó, ta có MI/NI = MD/NE = 1, suy ra MI = NI. Vậy I là trung điểm của DE.

3) Gọi O là giao điểm của BC và AO. Ta cần chứng minh AO là đường trung trực của BC, tức là chứng minh OB = OC.

Ta có ∠OBC = 90° - ∠ABC = ∠ACB = ∠OCB, nên tam giác OBC cân tại O. Tương tự, tam giác OCB cũng cân tại O. Do đó, OB = OC.

Vậy ta đã chứng minh được rằng AO là đường trung trực của BC.