Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A, B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I ; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E ; cắt tia BM tại F, tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K..

a) Ta có:
\(\angle EFM = \angle EFB + \angle MFB = \angle EAB + \angle MAB = 90^\circ\)
Do đó tứ giác EFMK nội tiếp.

b) Ta có:
\(\angle IAM = \angle IAE + \angle EAM = \angle IBE + \angle EBM = \angle IBM\)
Do đó tam giác IAM đồng dạng với tam giác IBM, suy ra:
\(\frac{AI}{IM} = \frac{IB}{BM}\)
\(AI \cdot BM = IM \cdot IB\)
\(AI^2 = IM \cdot IB\)

c) Ta có:
\(\angle BAF = \angle BAE + \angle EAF = \angle BAE + \angle EBM = \angle BAM = \angle BMA\)
Do đó tam giác BAF cân.

d) Ta có:
\(\angle AKH = \angle AEH = \angle ABH = \angle ABF = \angle AMF = \angle AKF\)
Do đó tứ giác AKFH là hình thoi.

e) Để tứ giác AKFI nội tiếp, ta cần có:
\(\angle AKI = \angle AFI\)
\(\angle AKI = \angle AEI = \angle AEB = \angle AMB\)
\(\angle AFI = \angle AFB = \angle AMB\)
Do đó để tứ giác AKFI nội tiếp, ta cần chọn điểm M sao cho \(\angle AMB = \angle AMB\).