Ta có tam giác AHM và tam giác AHN đều vuông tại H, nên ta có:
\(\angle HAM = \angle HAN = 90^\circ\)

Do đó, ta có:
\(\angle HAM = \angle HAN = 90^\circ\)
\(\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ\)

Vậy tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác AMHN, ta có:
\(AM.HN + AN.HM = AH.MN\)

Vì \(AM = AB - BM\) và \(AN = AC - CN\), nên ta có:
\((AB - BM).HN + (AC - CN).HM = AH.MN\)
\(AB.HN - BM.HN + AC.HM - CN.HM = AH.MN\)
\(AB.HN + AC.HM = AH.MN + BM.HN + CN.HM\)

Nhân cả hai vế với AH, ta được:
\(AB.AH.HN + AC.AH.HM = AH^2.MN + AH.BM.HN + AH.CN.HM\)
\(AB.AN = AC.AM + AH.BM.HN + AH.CN.HM\)

Vì \(BM.HN = CN.HM\), nên ta có:
\(AB.AN = AC.AM + AH.BM.HN + AH.CN.HM\)
\(AB.AN = AC.AM + AH.BM.HN + AH.BM.HN\)
\(AB.AN = AC.AM + 2AH.BM.HN\)

Do \(AH = \frac{AB.AC}{BC}\), ta có:
\(AB.AN = AC.AM + 2\frac{AB.AC}{BC}.BM.HN\)
\(AB.AN = AC.AM + 2AC.BM.HN\)
\(AB.AN = AC.AM + 2AM.AC\)
\(AB.AN = AC.AM + 2AM.AC\)
\(AB.AN = AM.AC\)

Vậy ta đã chứng minh được \(AM.AB = AN.AC\).