Để tìm được giá trị của m, ta cần giải phương trình x² - mx - 5 = 0 để tìm ra hai nghiệm x1 và x2.

Theo đề bài, ta có hệ thức (x1 + 2)² + (x2 + 2)² = 23.

Đặt S = x1 + x2 và P = x1 * x2.

Theo công thức Newton, ta có:
(x1 + x2)² = x1² + x2² + 2x1x2
⇒ (x1 + x2)² = S² - 2P

Vậy hệ thức (x1 + 2)² + (x2 + 2)² = 23 sẽ trở thành:
(S + 4)² - 2P = 23
⇒ S² + 8S + 16 - 2P = 23
⇒ S² + 8S - 2P = 7

Vì x1 và x2 là nghiệm của phương trình x² - mx - 5 = 0, nên ta có:
S = m
P = -5

Thay S và P vào phương trình ta có:
m² + 8m + 10 = 7
⇒ m² + 8m + 3 = 0

Giải phương trình trên ta được m = -1 hoặc m = -3.

Vậy giá trị của m để hệ thức (x1 + 2)² + (x2 + 2)² = 23 thoả mãn là m = -1 hoặc m = -3.