Giải:

1.
a) Ta có:
- Góc DAB = góc CAB (vì AD là tia phân giác của góc ABC)
- Góc DEB = góc CEB (vì DE vuông góc với BC)
- Góc CAB = góc CEB (vì tam giác ABC vuông tại A)
Vậy ta có DAB = DEB.
- Góc ABD = góc EBD (vì AB song song với DE)
Vậy ta có DABD = DEBD.

b) Ta có:
- Góc DAB = góc CAB (vì AD là tia phân giác của góc ABC)
- Góc DAE = góc CAE (vì tam giác ADE vuông tại D)
Vậy tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
Do đó, ta có DM = DC.
- Ta có góc DMC = góc DAB = góc CAB = góc CEB = góc DEC.
Vậy tam giác DMC đồng dạng với tam giác DEC.
Do đó, ta có góc MDC = góc EDC = góc EBC = góc DBC.
Vậy ta có BD là đường trung trực của MC.

2. Ta có:
- Góc GHN = góc GHM (vì NM là tia phân giác của góc GHN)
- Góc GMH = góc GNH (vì NM là tia phân giác của góc GHN)
Vậy tam giác GMH đồng dạng với tam giác GNH.
Do đó, ta có GH/GN = GM/GH.
Tương tự, ta có GK/GN = GM/GK.
Từ đó suy ra GH/GK = GM/GH = GM/GK.
Vậy GH – GK = GM(GH – GK) = GM(GH/GK – 1)GK.
Nhưng ta đã có GH/GK = GM/GH = GM/GK, suy ra GH – GK = GM(GH/GK – 1)GK = GM(GM/GK – 1)GK = NH – NK.

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.