a, Ta có tam giác ABC vuông tại A nên AE là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, ta có \(AE = \frac{1}{2} \times BC\).
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có \(BC = AB \cos B = AB \cos \angle B\).
Gọi x là độ dài của AE, ta có:
\[x = \frac{1}{2} \times AB \cos \angle B\]
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có \(\cos \angle B = \frac{AC}{AB}\).
Thay vào công thức trên, ta được:
\[x = \frac{1}{2} \times AB \times \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2} \times AC = HE\]
Vậy ta đã chứng minh được \(AE = HE\).

b, Ta có tam giác AED vuông tại E nên ta có:
\[\frac{AH}{HE} = \frac{AD}{DE}\]
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
\[\frac{AD}{DE} = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{AB \cos \angle B} = \frac{1}{\cos \angle B}\]
Vậy ta có:
\[\frac{AH}{HE} = \frac{1}{\cos \angle B}\]
Nhưng ta cũng có:
\[\frac{AH}{HE} = \frac{AE}{ED} = \frac{AE}{BC} = \frac{1}{2}\]
Do đó, ta có:
\[\frac{1}{2} = \frac{1}{\cos \angle B}\]
Từ đó suy ra \(\cos \angle B = 2\).
Vậy ta đã chứng minh được rằng AH là tia phân giác của góc DAC.