Trên đường tròn tâm O Lấy điểm B và C sao cho góc BOC bằng 90 độ. Trên cung lớn BC lấy điểm A tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là E. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC. 1) Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp..

Để chứng minh tứ giác AMND nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tứ giác AMND là tứ giác điều hòa.

Gọi I là giao điểm của AD và BC. Ta có:
- Góc BAC = góc DAC (do AD là tia phân giác của góc BAC)
- Góc BCA = góc DCA (do BC là tiếp tuyến của đường tròn tại C)
=> Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADC theo góc.

Suy ra, ta có:
AB/AD = AC/DC
=> AB*DC = AD*AC

Vậy tứ giác AMND là tứ giác điều hòa, từ đó suy ra tứ giác AMND nội tiếp.

Tiếp theo, để chứng minh tam giác ADF đồng dạng với tam giác MNF, ta cần chứng minh rằng góc DAF = góc MNF.

Ta có:
Góc DAF = góc BAC (do AD là tia phân giác của góc BAC)
Góc MNF = góc MNC = góc BAC (do MN // BC và góc BAC là góc ngoại tiếp cùng)

Vậy góc DAF = góc MNF, từ đó suy ra tam giác ADF đồng dạng với tam giác MNF.

Cuối cùng, ta có:
AD/MD = AI/IM (theo định lí hình học)
=> AD/MD = AC/MN (do AI = AC và IM = MN)
=> AD = MN * (AC/MD) = MN * căn(2) (vì AC = MD)

Vậy ta đã chứng minh được Ad = MN * căn(2).