a) Ta có:
$$\angle BAH = \angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = \angle BHA$$
$$\angle ABH = \angle ACH = 90^\circ - \angle ACB = \angle BAH$$
Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA. Từ đó suy ra:
$$\frac{AB}{HB} = \frac{AC}{HA}$$
$$\frac{6}{HB} = \frac{8}{HA}$$
$$HA = \frac{8}{6} \times HB = \frac{4}{3} \times HB$$
Với $AB = 6cm$ và $AC = 8cm$, ta có $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} cm$.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $ABC$, ta có:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
$$(2\sqrt{7})^2 = 6^2 + 8^2$$
$$28 = 36 + 64$$
$$28 = 100$$
Vô lí, do đó ta đã sai ở bước tính toán trước đó.

b) Ta có:
$$AH^2 = HA^2 = \left(\frac{4}{3} \times HB\right)^2 = \frac{16}{9} \times HB^2$$
$$HB \times HC = HB \times (HB + BC) = HB^2 + HB \times BC = HB^2 + 2\sqrt{7} \times HB = HB^2 + 2\sqrt{7} \times \frac{3}{4} \times HA = HB^2 + 3\sqrt{7} \times HA$$
Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA nên:
$$\frac{AB}{HB} = \frac{AC}{HA}$$
$$\frac{6}{HB} = \frac{8}{HA}$$
$$HA = \frac{8}{6} \times HB = \frac{4}{3} \times HB$$
$$HB \times HC = HB^2 + 3\sqrt{7} \times HA = HB^2 + 3\sqrt{7} \times \frac{4}{3} \times HB = HB^2 + 4\sqrt{7} \times HB = (HB + 2\sqrt{7}) \times HB = HC \times HB$$
$$AH^2 = HB \times HC$$

c) Ta có:
$$\frac{S_{ABE}}{S_{HBF}} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times AB \times \sin{\angle ABE}}{\frac{1}{2} \times BF \times BH \times \sin{\angle HBF}} = \frac{AE \times AB}{BF \times BH} = \frac{AC \times \sin{\angle BAC}}{BC \times \sin{\angle ABC}} = \frac{8 \times \sin{A}}{2\sqrt{7} \times \sin{B}}$$
$$\frac{S_{ABE}}{S_{HBF}} = \frac{8 \times \frac{BC}{AC}}{2\sqrt{7} \times \frac{BC}{AB}} = \frac{8 \times 2\sqrt{7}}{2\sqrt{7} \times 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$$

Vậy tỉ số diện tích của tam giác ABE và HBF là $\frac{4}{3}$.