Để chứng minh điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường phân giác AM ta có:
$\frac{BM}{BC} \cdot \frac{CP}{PA} \cdot \frac{AN}{NM} = 1$

Do đó, $\frac{AN}{NM} = \frac{BC}{BM} \cdot \frac{PA}{CP}$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường phân giác BN ta có:
$\frac{CP}{CA} \cdot \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NP} = 1$

Do đó, $\frac{BN}{NP} = \frac{CA}{CP} \cdot \frac{MB}{AM}$

Tổng hai biểu thức trên ta được:
$\frac{AN}{NM} + \frac{BN}{NP} = \frac{BC}{BM} \cdot \frac{PA}{CP} + \frac{CA}{CP} \cdot \frac{MB}{AM}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$\frac{BC}{BM} + \frac{CA}{CP} \geq 2\sqrt{\frac{BC}{BM} \cdot \frac{CA}{CP}}$

$\frac{PA}{CP} + \frac{MB}{AM} \geq 2\sqrt{\frac{PA}{CP} \cdot \frac{MB}{AM}}$

Nhân hai bất đẳng thức trên ta được:
$(\frac{BC}{BM} + \frac{CA}{CP})(\frac{PA}{CP} + \frac{MB}{AM}) \geq 4\sqrt{\frac{BC}{BM} \cdot \frac{CA}{CP} \cdot \frac{PA}{CP} \cdot \frac{MB}{AM}}$

Vậy ta có:
$\frac{AN}{NM} + \frac{BN}{NP} \geq 4$

Do đó, $S_{MNP} \leq \frac{S}{4}$

Vậy ta đã chứng minh điều cần chứng minh.