Xét các trường hợp của số nguyên tố

Một số nguyên tố $$ p $$ khác 2 và 3 sẽ là số lẻ và không chia hết cho 3. Do đó, $$ p $$ có thể có dạng:
- $$ p \equiv 1 \mod 6 $$
- $$ p \equiv 5 \mod 6 $$

Trường hợp 1: $$ p \equiv 1 \mod 6 $$

Nếu $$ p \equiv 1 \mod 6 $$, ta có:
$$ p = 6k + 1 $$
với $$ k $$ là một số nguyên. Khi đó, bình phương của $$ p $$ là:
$$ p^2 = (6k + 1)^2 = 36k^2 + 12k + 1 $$

Chia cả hai vế cho 12, ta có:
$$ p^2 \equiv 36k^2 + 12k + 1 \mod 12 $$
Do $$ 36k^2 $$ và $$ 12k $$ đều chia hết cho 12, ta có:
$$ p^2 \equiv 1 \mod 12 $$

Trường hợp 2: $$ p \equiv 5 \mod 6 $$

Nếu $$ p \equiv 5 \mod 6 $$, ta có:
$$ p = 6k + 5 $$
với $$ k $$ là một số nguyên. Khi đó, bình phương của $$ p $$ là:
$$ p^2 = (6k + 5)^2 = 36k^2 + 60k + 25 $$

Chia cả hai vế cho 12, ta có:
$$ p^2 \equiv 36k^2 + 60k + 25 \mod 12 $$
Do $$ 36k^2 $$ và $$ 60k $$ đều chia hết cho 12, ta có:
$$ p^2 \equiv 25 \mod 12 $$
$$ 25 \equiv 1 \mod 12 $$

Từ hai trường hợp trên, ta thấy rằng bình phương của một số nguyên tố $$ p $$ khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1. Vậy ta đã chứng minh được rằng:
$$ p^2 \equiv 1 \mod 12 $$
với $$ p $$ là một số nguyên tố khác 2 và 3.