a. Ta có diện tích tam giác ABC là:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = 24\]
\[6 \times BC = 48\]
\[BC = 8\]

Ta có:
\[AH = \frac{AB \times BC}{\sqrt{AB^2 + BC^2}} = \frac{6 \times 8}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{48}{10} = 4.8\]

Vậy BC = 8cm và AH = 4.8cm.

b. Ta có BM = 1/3 AB = 2cm. Khi đó, AM = AB - BM = 6 - 2 = 4cm.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AMC:
\[AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2 \times AM \times MC \times \cos \angle AMC\]

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\]

Thay các giá trị vào phương trình trên ta được:
\[10^2 = 4^2 + MC^2 - 2 \times 4 \times MC \times \cos \angle AMC\]
\[100 = 16 + MC^2 - 8MC \cos \angle AMC\]
\[MC^2 - 8MC \cos \angle AMC + 84 = 0\]

Vì góc AMC nằm trong khoảng (0, 90) nên ta có:
\[MC = 6\]

Vậy góc AMC = 90 độ.