Cho tam giác nhọn \(ABC\), các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) và \(N\) theo thứ tự là hình chiếu của \(E\) và \(D\) trên \(BC\).

### a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ \(H\) đến \(EM\) và \(DN\) bằng \(\frac{EM}{DN}\)

Để chứng minh điều này, ta cần sử dụng một số tính chất của hình học phẳng và tam giác vuông.

1. **Xét tam giác \(BHC\):**
- \(BD\) là đường cao, nên \(BD \perp AC\).
- \(CE\) là đường cao, nên \(CE \perp AB\).
- \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

2. **Xét các hình chiếu:**
- \(M\) là hình chiếu của \(E\) trên \(BC\), nên \(EM \perp BC\).
- \(N\) là hình chiếu của \(D\) trên \(BC\), nên \(DN \perp BC\).

3. **Khoảng cách từ \(H\) đến \(EM\) và \(DN\):**
- Khoảng cách từ \(H\) đến \(EM\) là độ dài đoạn vuông góc từ \(H\) đến \(EM\).
- Khoảng cách từ \(H\) đến \(DN\) là độ dài đoạn vuông góc từ \(H\) đến \(DN\).

4. **Tỉ số khoảng cách:**
- Gọi \(d_1\) là khoảng cách từ \(H\) đến \(EM\).
- Gọi \(d_2\) là khoảng cách từ \(H\) đến \(DN\).

Ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{EM}{DN}
\]

5. **Sử dụng tính chất đồng dạng:**
- Xét tam giác \(HEM\) và tam giác \(HDN\):
- \(HE \perp BC\) và \(HD \perp BC\).
- \(EM \perp BC\) và \(DN \perp BC\).

Do đó, hai tam giác \(HEM\) và \(HDN\) đồng dạng với nhau (góc vuông và góc chung tại \(H\)).

6. **Tỉ số đồng dạng:**
- Từ tính chất đồng dạng của hai tam giác \(HEM\) và \(HDN\), ta có:
\[
\frac{HE}{HD} = \frac{EM}{DN}
\]

Vì \(HE\) và \(HD\) là các đoạn thẳng từ \(H\) đến các đường cao \(EM\) và \(DN\), nên:
\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{EM}{DN}
\]

### b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(DM\) và \(EN\). Chứng minh \(HO\) vuông góc với \(BC\)

1. **Xét các đường thẳng:**
- \(DM\) là đường thẳng qua \(D\) và \(M\).
- \(EN\) là đường thẳng qua \(E\) và \(N\).
- \(O\) là giao điểm của \(DM\) và \(EN\).

2. **Tính chất của trực tâm:**
- \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), nên \(H\) nằm trên các đường cao \(BD\) và \(CE\).

3. **Sử dụng tính chất hình chiếu:**
- \(M\) là hình chiếu của \(E\) trên \(BC\), nên \(EM \perp BC\).
- \(N\) là hình chiếu của \(D\) trên \(BC\), nên \(DN \perp BC\).

4. **Chứng minh \(HO \perp BC\):**
- Xét tam giác \(HDE\):
- \(DM\) và \(EN\) là các đường thẳng qua \(D\) và \(E\) lần lượt cắt nhau tại \(O\).

- Do \(M\) và \(N\) là các hình chiếu vuông góc từ \(E\) và \(D\) lên \(BC\), nên \(DM\) và \(EN\) là các đường thẳng vuông góc với \(BC\).

- Từ đó, \(O\) là giao điểm của các đường thẳng vuông góc với \(BC\), nên \(HO\) cũng phải vuông góc với \(BC\).

Do đó, \(HO \perp BC\).

Kết luận: Ta đã chứng minh được rằng tỉ số khoảng cách từ \(H\) đến \(EM\) và \(DN\) bằng \(\frac{EM}{DN}\), và \(HO\) vuông góc với \(BC\).