Để tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( P = \frac{x^2}{3} + x \) là một số nguyên, ta cần đảm bảo rằng \( \frac{x^2}{3} + x \) là một số nguyên.

Giả sử \( P = n \) với \( n \) là một số nguyên. Khi đó, ta có:
\[ \frac{x^2}{3} + x = n \]

Chuyển vế và nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số:
\[ x^2 + 3x = 3n \]

Đây là một phương trình bậc hai theo \( x \):
\[ x^2 + 3x - 3n = 0 \]

Để \( x \) là một số nguyên, phương trình này phải có nghiệm nguyên. Điều này có nghĩa là delta (biệt thức) của phương trình phải là một số chính phương.

Delta của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = 3 \), và \( c = -3n \), do đó:
\[ \Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3n) = 9 + 12n = 9 + 12n \]

Để phương trình có nghiệm nguyên, \( \Delta \) phải là một số chính phương. Gọi \( \Delta = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên, ta có:
\[ 9 + 12n = k^2 \]

Chuyển vế:
\[ k^2 - 9 = 12n \]

\[ 12n = k^2 - 9 \]

\[ n = \frac{k^2 - 9}{12} \]

Để \( n \) là một số nguyên, \( \frac{k^2 - 9}{12} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( k^2 - 9 \) phải chia hết cho 12.

Xét các giá trị của \( k \) để \( k^2 - 9 \) chia hết cho 12:
- \( k^2 \equiv 9 \pmod{12} \)

Ta cần tìm các giá trị của \( k \) sao cho \( k^2 \equiv 9 \pmod{12} \). Ta có:
- \( k \equiv 3 \pmod{12} \)
- \( k \equiv 9 \pmod{12} \)

Do đó, \( k \) có thể là các giá trị: \( k = 3, 9, 15, 21, \ldots \)

Từ đó, ta có thể tính \( n \) và kiểm tra các giá trị của \( x \).

Ví dụ:
- Với \( k = 3 \):
\[ n = \frac{3^2 - 9}{12} = \frac{9 - 9}{12} = 0 \]
\[ x^2 + 3x = 0 \]
\[ x(x + 3) = 0 \]
\[ x = 0 \text{ hoặc } x = -3 \]

- Với \( k = 9 \):
\[ n = \frac{9^2 - 9}{12} = \frac{81 - 9}{12} = 6 \]
\[ x^2 + 3x = 18 \]
\[ x^2 + 3x - 18 = 0 \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 \pm 9}{2} \]
\[ x = 3 \text{ hoặc } x = -6 \]

Tương tự, ta có thể tìm các giá trị khác của \( x \) bằng cách kiểm tra các giá trị khác của \( k \).

Tóm lại, các giá trị của \( x \) để \( P \) là số nguyên là:
\[ x = 0, -3, 3, -6, \ldots \]