Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[ x^2y^2 - 3xy^3 - x^2 + 3xy - x^2y + 3xy^2 + 6y^2 - 6y - 7 = 0, \]

chúng ta có thể thử phân tích phương trình này hoặc thử các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

Trước hết, ta thử một số giá trị nhỏ của \( x \) và \( y \) để xem có nghiệm nào không.

### Thử \( x = 0 \):

\[ 0^2y^2 - 3 \cdot 0 \cdot y^3 - 0^2 + 3 \cdot 0 \cdot y - 0^2 \cdot y + 3 \cdot 0 \cdot y^2 + 6y^2 - 6y - 7 = 0 \]
\[ 6y^2 - 6y - 7 = 0 \]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo \( y \). Ta giải phương trình này:

\[ 6y^2 - 6y - 7 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ay^2 + by + c = 0 \):

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Ở đây, \( a = 6 \), \( b = -6 \), và \( c = -7 \):

\[ y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7)}}{2 \cdot 6} \]
\[ y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 168}}{12} \]
\[ y = \frac{6 \pm \sqrt{204}}{12} \]
\[ y = \frac{6 \pm 2\sqrt{51}}{12} \]
\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{51}}{6} \]

Vì \( \sqrt{51} \) không phải là số nguyên, nên \( y \) không phải là số nguyên khi \( x = 0 \).

### Thử \( y = 0 \):

\[ x^2 \cdot 0^2 - 3x \cdot 0^3 - x^2 + 3x \cdot 0 - x^2 \cdot 0 + 3x \cdot 0^2 + 6 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 - 7 = 0 \]
\[ -x^2 - 7 = 0 \]
\[ x^2 = -7 \]

Điều này không thể xảy ra vì \( x^2 \) không thể âm.

### Thử các giá trị khác của \( x \) và \( y \):

Chúng ta có thể thử một số giá trị nhỏ khác của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

Thử \( x = 1 \):

\[ 1^2y^2 - 3 \cdot 1 \cdot y^3 - 1^2 + 3 \cdot 1 \cdot y - 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 + 6y^2 - 6y - 7 = 0 \]
\[ y^2 - 3y^3 - 1 + 3y - y + 3y^2 + 6y^2 - 6y - 7 = 0 \]
\[ y^2 - 3y^3 + 8y^2 - 4y - 8 = 0 \]
\[ -3y^3 + 9y^2 - 4y - 8 = 0 \]

Thử \( y = 1 \):

\[ -3 \cdot 1^3 + 9 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 - 8 = 0 \]
\[ -3 + 9 - 4 - 8 = 0 \]
\[ -6 + 9 - 4 = 0 \]
\[ -3 \neq 0 \]

Thử \( y = -1 \):

\[ -3 \cdot (-1)^3 + 9 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 8 = 0 \]
\[ 3 + 9 + 4 - 8 = 0 \]
\[ 16 - 8 = 0 \]
\[ 8 \neq 0 \]

Thử \( x = -1 \):

\[ (-1)^2y^2 - 3 \cdot (-1) \cdot y^3 - (-1)^2 + 3 \cdot (-1) \cdot y - (-1)^2 \cdot y + 3 \cdot (-1) \cdot y^2 + 6y^2 - 6y - 7 = 0 \]
\[ y^2 + 3y^3 - 1 - 3y - y - 3y^2 + 6y^2 - 6y - 7 = 0 \]
\[ y^2 + 3y^3 + 2y^2 - 9y - 8 = 0 \]
\[ 3y^3 + 8y^2 - 9y - 8 = 0 \]

Thử \( y = 1 \):

\[ 3 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 - 8 = 0 \]
\[ 3 + 8 - 9 - 8 = 0 \]
\[ 11 - 17 = 0 \]
\[ -6 \neq 0 \]

Thử \( y = -1 \):

\[ 3 \cdot (-1)^3 + 8 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) - 8 = 0 \]
\[ -3 + 8 + 9 - 8 = 0 \]
\[ 6 \neq 0 \]

### Kết luận:

Sau khi thử một số giá trị nhỏ của \( x \) và \( y \), ta thấy không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn phương trình đã cho. Có thể phương trình này không có nghiệm nguyên, hoặc nghiệm nguyên nằm ngoài phạm vi các giá trị nhỏ mà ta đã thử.