Chúng ta sẽ chứng minh từng bất đẳng thức một.

### a) Chứng minh \( a^4 + b^4 + c^4 \geq abc (a + b + c) \)

Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức Trung bình Cộng - Trung bình Nhân).

Bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm \( x, y, z \) là:
\[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \]

Áp dụng AM-GM cho \( a^4, b^4, c^4 \):

\[ \frac{a^4 + b^4 + c^4}{3} \geq \sqrt[3]{a^4 b^4 c^4} \]

Từ đó suy ra:

\[ a^4 + b^4 + c^4 \geq 3 \sqrt[3]{a^4 b^4 c^4} \]

Chúng ta biết rằng:

\[ \sqrt[3]{a^4 b^4 c^4} = (abc)^{4/3} \]

Do đó:

\[ a^4 + b^4 + c^4 \geq 3 (abc)^{4/3} \]

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng:

\[ 3 (abc)^{4/3} \geq abc (a + b + c) \]

Chia cả hai vế cho \( abc \):

\[ 3 (abc)^{1/3} \geq a + b + c \]

Áp dụng AM-GM cho \( a, b, c \):

\[ \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \]

Nhân cả hai vế với 3:

\[ a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{abc} \]

Do đó:

\[ 3 (abc)^{1/3} \geq a + b + c \]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[ a^4 + b^4 + c^4 \geq abc (a + b + c) \]

### b) Chứng minh \( \frac{a^8 + b^8 + c^8}{(abc)^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)

Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng Bất đẳng thức AM-GM một lần nữa.

Áp dụng AM-GM cho \( a^8, b^8, c^8 \):

\[ \frac{a^8 + b^8 + c^8}{3} \geq \sqrt[3]{a^8 b^8 c^8} \]

Từ đó suy ra:

\[ a^8 + b^8 + c^8 \geq 3 \sqrt[3]{a^8 b^8 c^8} \]

Chúng ta biết rằng:

\[ \sqrt[3]{a^8 b^8 c^8} = (abc)^{8/3} \]

Do đó:

\[ a^8 + b^8 + c^8 \geq 3 (abc)^{8/3} \]

Chia cả hai vế cho \( (abc)^2 \):

\[ \frac{a^8 + b^8 + c^8}{(abc)^2} \geq \frac{3 (abc)^{8/3}}{(abc)^2} \]

\[ \frac{a^8 + b^8 + c^8}{(abc)^2} \geq 3 (abc)^{2/3 - 2} \]

\[ \frac{a^8 + b^8 + c^8}{(abc)^2} \geq 3 (abc)^{-4/3} \]

\[ \frac{a^8 + b^8 + c^8}{(abc)^2} \geq 3 \left(\frac{1}{(abc)^{4/3}}\right) \]

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[ 3 \left(\frac{1}{(abc)^{4/3}}\right) \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \]

Áp dụng AM-GM cho \( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \):

\[ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{1}{abc}} \]

Nhân cả hai vế với 3:

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{abc}} \]

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \left(\frac{1}{(abc)^{1/3}}\right) \]

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 (abc)^{-1/3} \]

Như vậy, chúng ta cần chứng minh rằng:

\[ 3 (abc)^{-4/3} \geq 3 (abc)^{-1/3} \]

Điều này đúng vì \( -4/3 \leq -1/3 \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[ \frac{a^8 + b^8 + c^8}{(abc)^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \]

Kết luận, cả hai bất đẳng thức đã được chứng minh.