Cho HPT mx + y = 3 và -x + y = 2. Tìm m để nghiệm (x;y) TM x^2 + y^2 = 10

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình \( mx + y = 3 \) và \( -x + y = 2 \) có nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn \( x^2 + y^2 = 10 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Giải hệ phương trình:**

Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
mx + y = 3 \quad (1) \\
-x + y = 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (2), ta có:
\[
y = x + 2 \quad (3)
\]

Thay \( y \) từ phương trình (3) vào phương trình (1):
\[
mx + (x + 2) = 3
\]
\[
mx + x + 2 = 3
\]
\[
(m + 1)x + 2 = 3
\]
\[
(m + 1)x = 1
\]
\[
x = \frac{1}{m + 1} \quad (4)
\]

Thay \( x \) từ phương trình (4) vào phương trình (3):
\[
y = \frac{1}{m + 1} + 2
\]
\[
y = \frac{1}{m + 1} + \frac{2(m + 1)}{m + 1}
\]
\[
y = \frac{1 + 2m + 2}{m + 1}
\]
\[
y = \frac{2m + 3}{m + 1} \quad (5)
\]

2. **Thay \( x \) và \( y \) vào phương trình \( x^2 + y^2 = 10 \):**

\[
\left( \frac{1}{m + 1} \right)^2 + \left( \frac{2m + 3}{m + 1} \right)^2 = 10
\]

\[
\frac{1}{(m + 1)^2} + \frac{(2m + 3)^2}{(m + 1)^2} = 10
\]

\[
\frac{1 + (2m + 3)^2}{(m + 1)^2} = 10
\]

\[
1 + (2m + 3)^2 = 10(m + 1)^2
\]

\[
1 + 4m^2 + 12m + 9 = 10(m^2 + 2m + 1)
\]

\[
4m^2 + 12m + 10 = 10m^2 + 20m + 10
\]

\[
4m^2 + 12m + 10 = 10m^2 + 20m + 10
\]

\[
4m^2 + 12m + 10 = 10m^2 + 20m + 10
\]

\[
4m^2 + 12m + 10 = 10m^2 + 20m + 10
\]

\[
4m^2 + 12m + 10 - 10m^2 - 20m - 10 = 0
\]

\[
-6m^2 - 8m = 0
\]

\[
-2m(3m + 4) = 0
\]

\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = -\frac{4}{3}
\]

3. **Kiểm tra lại các giá trị của \( m \):**

- Với \( m = 0 \):
\[
x = \frac{1}{0 + 1} = 1
\]
\[
y = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 + 1} = 3
\]
\[
x^2 + y^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10
\]
Thỏa mãn.

- Với \( m = -\frac{4}{3} \):
\[
x = \frac{1}{-\frac{4}{3} + 1} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3
\]
\[
y = \frac{2 \cdot -\frac{4}{3} + 3}{-\frac{4}{3} + 1} = \frac{-\frac{8}{3} + 3}{-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}} = -1
\]
\[
x^2 + y^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10
\]
Thỏa mãn.

Vậy, các giá trị của \( m \) để nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn \( x^2 + y^2 = 10 \) là \( m = 0 \) và \( m = -\frac{4}{3} \).