Để giải phương trình \( \frac{x}{6} + \frac{x}{10} + \frac{x}{15} + \frac{x}{21} + \frac{x}{28} + \frac{x}{36} + \frac{x}{45} + \frac{x}{55} + \frac{x}{66} + \frac{x}{78} = \frac{220}{39} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm mẫu số chung của các phân số**:
Các mẫu số là: 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78.
Ta cần tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của các số này.

- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
\[
\begin{aligned}
6 &= 2 \times 3, \\
10 &= 2 \times 5, \\
15 &= 3 \times 5, \\
21 &= 3 \times 7, \\
28 &= 2^2 \times 7, \\
36 &= 2^2 \times 3^2, \\
45 &= 3^2 \times 5, \\
55 &= 5 \times 11, \\
66 &= 2 \times 3 \times 11, \\
78 &= 2 \times 3 \times 13.
\end{aligned}
\]

- BCNN sẽ là tích của các thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất:
\[
\text{BCNN} = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13.
\]

- Tính toán:
\[
2^2 = 4, \quad 3^2 = 9, \quad 4 \times 9 = 36, \quad 36 \times 5 = 180, \quad 180 \times 7 = 1260, \quad 1260 \times 11 = 13860, \quad 13860 \times 13 = 180180.
\]

Vậy, mẫu số chung là 180180.

2. **Quy đồng các phân số**:
\[
\frac{x}{6} = \frac{180180x}{6 \times 180180} = \frac{30030x}{180180}, \\
\frac{x}{10} = \frac{180180x}{10 \times 180180} = \frac{18018x}{180180}, \\
\frac{x}{15} = \frac{180180x}{15 \times 180180} = \frac{12012x}{180180}, \\
\frac{x}{21} = \frac{180180x}{21 \times 180180} = \frac{8580x}{180180}, \\
\frac{x}{28} = \frac{180180x}{28 \times 180180} = \frac{6435x}{180180}, \\
\frac{x}{36} = \frac{180180x}{36 \times 180180} = \frac{5005x}{180180}, \\
\frac{x}{45} = \frac{180180x}{45 \times 180180} = \frac{4004x}{180180}, \\
\frac{x}{55} = \frac{180180x}{55 \times 180180} = \frac{3276x}{180180}, \\
\frac{x}{66} = \frac{180180x}{66 \times 180180} = \frac{2730x}{180180}, \\
\frac{x}{78} = \frac{180180x}{78 \times 180180} = \frac{2310x}{180180}.
\]

3. **Cộng các phân số**:
\[
\frac{30030x + 18018x + 12012x + 8580x + 6435x + 5005x + 4004x + 3276x + 2730x + 2310x}{180180} = \frac{220}{39}.
\]

Tổng tử số:
\[
30030 + 18018 + 12012 + 8580 + 6435 + 5005 + 4004 + 3276 + 2730 + 2310 = 91300.
\]

Vậy phương trình trở thành:
\[
\frac{91300x}{180180} = \frac{220}{39}.
\]

4. **Giải phương trình**:
\[
91300x \times 39 = 220 \times 180180.
\]

\[
91300x \times 39 = 39639600.
\]

\[
91300x = \frac{39639600}{39}.
\]

\[
91300x = 1016400.
\]

\[
x = \frac{1016400}{91300}.
\]

\[
x = \frac{10164}{913}.
\]

\[
x = 11.13.
\]

Vậy \( x \approx 11.13 \).