Để chứng minh rằng \(abc\) chia hết cho 4, ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
\]

Ta quy đồng mẫu số ở vế phải:

\[
\frac{1}{a} = \frac{b + c}{bc}
\]

Do đó, ta có:

\[
a = \frac{bc}{b + c}
\]

Vì \(a\), \(b\), và \(c\) là các số nguyên khác 0, nên \(a\) cũng phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \(b + c\) phải chia hết cho \(bc\). Để phân tích rõ hơn, ta xem xét các trường hợp của \(b\) và \(c\) theo tính chẵn lẻ.

### Trường hợp 1: \(b\) và \(c\) cùng chẵn
Giả sử \(b = 2m\) và \(c = 2n\) với \(m\) và \(n\) là các số nguyên. Khi đó:

\[
a = \frac{(2m)(2n)}{2m + 2n} = \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{2mn}{m + n}
\]

Vì \(m\) và \(n\) là các số nguyên, \(m + n\) cũng là số nguyên, nên \(\frac{2mn}{m + n}\) là một số nguyên. Do đó, \(a\) là một số nguyên. Trong trường hợp này, \(a\) là một số chẵn vì nó có dạng \(2k\) với \(k\) là một số nguyên. Vì vậy, \(a\), \(b\), và \(c\) đều là các số chẵn, và tích của ba số chẵn luôn chia hết cho 4. Do đó, \(abc\) chia hết cho 4.

### Trường hợp 2: \(b\) và \(c\) khác chẵn lẻ
Giả sử \(b\) là số chẵn và \(c\) là số lẻ (hoặc ngược lại). Khi đó, \(b = 2m\) và \(c = 2n + 1\) với \(m\) và \(n\) là các số nguyên. Khi đó:

\[
a = \frac{(2m)(2n + 1)}{2m + (2n + 1)} = \frac{2m(2n + 1)}{2m + 2n + 1}
\]

Trong trường hợp này, \(2m + 2n + 1\) là số lẻ, và \(2m(2n + 1)\) là số chẵn. Do đó, \(\frac{2m(2n + 1)}{2m + 2n + 1}\) không phải là số nguyên, mâu thuẫn với giả thiết rằng \(a\) là số nguyên. Do đó, trường hợp này không thể xảy ra.

### Trường hợp 3: \(b\) và \(c\) cùng lẻ
Giả sử \(b = 2m + 1\) và \(c = 2n + 1\) với \(m\) và \(n\) là các số nguyên. Khi đó:

\[
a = \frac{(2m + 1)(2n + 1)}{(2m + 1) + (2n + 1)} = \frac{(2m + 1)(2n + 1)}{2(m + n + 1)}
\]

Vì \(2(m + n + 1)\) là số chẵn, và \((2m + 1)(2n + 1)\) là số lẻ, nên \(\frac{(2m + 1)(2n + 1)}{2(m + n + 1)}\) không phải là số nguyên, mâu thuẫn với giả thiết rằng \(a\) là số nguyên. Do đó, trường hợp này cũng không thể xảy ra.

Từ các phân tích trên, chỉ có trường hợp \(b\) và \(c\) cùng chẵn là khả thi. Trong trường hợp này, \(a\), \(b\), và \(c\) đều là các số chẵn, và tích của ba số chẵn luôn chia hết cho 4. Do đó, \(abc\) chia hết cho 4.

Vậy, ta đã chứng minh rằng \(abc\) chia hết cho 4.