Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{1 - 2\sin^2 x}{2\cos^2 x - 1} \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản.

Trước hết, ta có công thức lượng giác cơ bản:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Từ đó, ta có thể suy ra:
\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \]
\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]

Bây giờ, ta sẽ thay đổi biểu thức \( A \) bằng cách sử dụng các công thức này.

1. Xét tử số \( 1 - 2\sin^2 x \):
\[ 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2(1 - \cos^2 x) = 1 - 2 + 2\cos^2 x = 2\cos^2 x - 1 \]

2. Xét mẫu số \( 2\cos^2 x - 1 \):
\[ 2\cos^2 x - 1 \]

Do đó, biểu thức \( A \) trở thành:
\[ A = \frac{1 - 2\sin^2 x}{2\cos^2 x - 1} = \frac{2\cos^2 x - 1}{2\cos^2 x - 1} \]

Khi đó, nếu \( 2\cos^2 x - 1 \neq 0 \), ta có:
\[ A = 1 \]

Tuy nhiên, nếu \( 2\cos^2 x - 1 = 0 \), thì:
\[ 2\cos^2 x = 1 \]
\[ \cos^2 x = \frac{1}{2} \]
\[ \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Trong trường hợp này, biểu thức ban đầu không xác định vì mẫu số bằng 0.

Kết luận, biểu thức \( A \) rút gọn là:
\[ A = 1 \]
với điều kiện \( x \neq \pm \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \).