Để giải bài toán này, ta cần tính tổng của dãy số \( h = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{256} \).

Đây là một dãy số hình học với số hạng đầu tiên \( a = \frac{1}{2} \) và công bội \( r = \frac{1}{2} \).

Tổng của một dãy số hình học hữu hạn có thể được tính bằng công thức:
\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

Trong trường hợp này, ta cần xác định số hạng cuối cùng là \( \frac{1}{256} \). Ta có thể viết \( \frac{1}{256} \) dưới dạng \( \left( \frac{1}{2} \right)^8 \), do đó số hạng cuối cùng là số hạng thứ 8.

Vậy, \( n = 8 \), \( a = \frac{1}{2} \), và \( r = \frac{1}{2} \).

Áp dụng công thức tổng của dãy số hình học:
\[ S_8 = \frac{1}{2} \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^8}{1 - \frac{1}{2}} \]

Tính toán từng bước:
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^8 = \frac{1}{256} \]
\[ 1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256} \]
\[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Do đó:
\[ S_8 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{255}{256} \cdot 2 = \frac{255}{256} \]

Vậy tổng của dãy số \( h = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{256} \) là \( \frac{255}{256} \).