Để chứng minh tam giác \( AMC \) cân tại \( M \), ta cần chứng minh rằng \( MA = MC \).

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Ta có các điểm \( B \) và \( C \) sao cho \( AB \perp AC \).

1. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên:
\[
MB = MC
\]

2. **Sử dụng định lý Pythagoras:**

Trong tam giác vuông \( ABC \), theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

3. **Tính độ dài đoạn \( MA \):**

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( M \) chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau. Do đó:
\[
MB = MC = \frac{BC}{2}
\]

Ta cần tính độ dài đoạn \( MA \). Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( AMB \):
\[
MA^2 + MB^2 = AB^2
\]

Vì \( MB = \frac{BC}{2} \), ta có:
\[
MA^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AB^2
\]

Tương tự, trong tam giác vuông \( AMC \):
\[
MA^2 + MC^2 = AC^2
\]

Vì \( MC = \frac{BC}{2} \), ta có:
\[
MA^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AC^2
\]

4. **So sánh hai phương trình:**

Từ hai phương trình trên, ta thấy rằng:
\[
MA^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AB^2
\]
và
\[
MA^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AC^2
\]

Do đó, ta có:
\[
AB^2 = AC^2
\]

Điều này chỉ ra rằng \( AB = AC \), nhưng điều này không cần thiết để chứng minh tam giác \( AMC \) cân tại \( M \). Thực tế, ta chỉ cần biết rằng \( MB = MC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

5. **Kết luận:**

Vì \( MB = MC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên tam giác \( AMC \) cân tại \( M \).

Vậy, tam giác \( AMC \) là tam giác cân tại \( M \).