Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần vẽ hình và xác định các thông tin đã cho. Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng các công thức hình học để tính diện tích tam giác ABC và độ dài đoạn thẳng MH.

### Bước 1: Vẽ hình
1. Vẽ tam giác ABC với AC = 15 cm.
2. Vẽ đường cao BK từ đỉnh B xuống cạnh AC, với BK = 12 cm.
3. Đặt điểm M trên cạnh AC sao cho tam giác AMC có diện tích bằng 22,5 cm².

### Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC
Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng công thức:
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \]

Ở đây, đáy là AC và chiều cao là BK:
\[ \text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times 15 \times 12 = 90 \text{ cm}^2 \]

### Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng MH
Để tính độ dài đoạn thẳng MH, chúng ta cần biết vị trí của điểm M trên AC. Ta biết rằng diện tích tam giác AMC là 22,5 cm².

Diện tích tam giác AMC cũng có thể được tính bằng công thức:
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \]

Giả sử AM = x, thì diện tích tam giác AMC là:
\[ \frac{1}{2} \times x \times BK = 22,5 \]

Thay BK = 12 cm vào:
\[ \frac{1}{2} \times x \times 12 = 22,5 \]
\[ 6x = 22,5 \]
\[ x = \frac{22,5}{6} = 3,75 \text{ cm} \]

Vậy AM = 3,75 cm và MC = AC - AM = 15 - 3,75 = 11,25 cm.

Để tính độ dài đoạn thẳng MH, ta cần biết rằng M nằm trên AC và BK là đường cao từ B xuống AC. Do đó, MH là đoạn thẳng từ M vuông góc với BK, nghĩa là MH chính là khoảng cách từ M đến K trên AC.

Vì M nằm trên AC, MH chính là khoảng cách từ M đến K, và K là điểm chân đường cao từ B xuống AC. Do đó, MH = AM = 3,75 cm.

### Kết luận:
a) Diện tích tam giác ABC là 90 cm².
b) Độ dài đoạn thẳng MH là 3,75 cm.