Để phân tích đa thức \( x^4 + 3x^3 + x + 3 \) thành nhân tử, chúng ta có thể thử sử dụng phương pháp phân tích đa thức bằng cách tìm nghiệm của đa thức và sau đó phân tích nó thành các nhân tử bậc thấp hơn.

Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức
Chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên của \( x \) để xem liệu chúng có phải là nghiệm của đa thức hay không. Các giá trị này thường là các ước của hệ số tự do (ở đây là 3).

Thử \( x = 1 \):
\[ 1^4 + 3 \cdot 1^3 + 1 + 3 = 1 + 3 + 1 + 3 = 8 \neq 0 \]

Thử \( x = -1 \):
\[ (-1)^4 + 3 \cdot (-1)^3 + (-1) + 3 = 1 - 3 - 1 + 3 = 0 \]

Vậy \( x = -1 \) là một nghiệm của đa thức.

Bước 2: Sử dụng nghiệm để phân tích đa thức
Vì \( x = -1 \) là nghiệm, nên \( x + 1 \) là một nhân tử của đa thức. Chúng ta sẽ chia đa thức \( x^4 + 3x^3 + x + 3 \) cho \( x + 1 \) để tìm nhân tử còn lại.

Sử dụng phép chia đa thức:
\[ x^4 + 3x^3 + 0x^2 + x + 3 \div (x + 1) \]

Chia từng bước:
1. \( x^4 \div x = x^3 \)
\[ x^4 + x^3 \]
\[ x^4 + 3x^3 + 0x^2 + x + 3 - (x^4 + x^3) = 2x^3 + 0x^2 + x + 3 \]

2. \( 2x^3 \div x = 2x^2 \)
\[ 2x^3 + 2x^2 \]
\[ 2x^3 + 0x^2 + x + 3 - (2x^3 + 2x^2) = -2x^2 + x + 3 \]

3. \( -2x^2 \div x = -2x \)
\[ -2x^2 - 2x \]
\[ -2x^2 + x + 3 - (-2x^2 - 2x) = 3x + 3 \]

4. \( 3x \div x = 3 \)
\[ 3x + 3 \]
\[ 3x + 3 - (3x + 3) = 0 \]

Vậy kết quả của phép chia là:
\[ x^4 + 3x^3 + x + 3 = (x + 1)(x^3 + 2x^2 - 2x + 3) \]

Bước 3: Phân tích tiếp đa thức bậc ba \( x^3 + 2x^2 - 2x + 3 \)
Chúng ta tiếp tục tìm nghiệm của đa thức bậc ba này.

Thử \( x = 1 \):
\[ 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 + 2 - 2 + 3 = 4 \neq 0 \]

Thử \( x = -1 \):
\[ (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = -1 + 2 + 2 + 3 = 6 \neq 0 \]

Thử \( x = 3 \):
\[ 3^3 + 2 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 27 + 18 - 6 + 3 = 42 \neq 0 \]

Thử \( x = -3 \):
\[ (-3)^3 + 2 \cdot (-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 3 = -27 + 18 + 6 + 3 = 0 \]

Vậy \( x = -3 \) là một nghiệm của \( x^3 + 2x^2 - 2x + 3 \).

Phân tích tiếp:
\[ x^3 + 2x^2 - 2x + 3 = (x + 3)(x^2 - x + 1) \]

Vậy đa thức ban đầu được phân tích thành:
\[ x^4 + 3x^3 + x + 3 = (x + 1)(x + 3)(x^2 - x + 1) \]

Đây là kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức thành nhân tử.