Để tính diện tích tam giác FHI, chúng ta cần xác định các tọa độ của các điểm F, H, và I dựa trên thông tin đã cho.

1. **Xác định các điểm và cạnh của hình vuông:**
- Giả sử hai hình vuông cạnh nhau có cạnh là \( a \).
- Điểm B và C nằm trên cạnh của hình vuông đầu tiên, và BC = 6 cm. Điều này có nghĩa là cạnh của hình vuông đầu tiên là 6 cm.
- Điểm H và G nằm trên cạnh của hình vuông thứ hai, và HG = 4 cm. Điều này có nghĩa là cạnh của hình vuông thứ hai là 4 cm.

2. **Xác định vị trí các điểm:**
- Giả sử hình vuông đầu tiên có các đỉnh là A, B, C, D theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.
- Hình vuông thứ hai có các đỉnh là E, F, G, H theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.
- Giả sử điểm B trùng với điểm E, và điểm C trùng với điểm F.

3. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử điểm B (và E) có tọa độ (0, 0).
- Điểm C (và F) có tọa độ (6, 0).
- Điểm D có tọa độ (0, 6).
- Điểm A có tọa độ (6, 6).
- Điểm G có tọa độ (10, 0) (vì HG = 4 cm và G nằm trên đường thẳng kéo dài từ BC).
- Điểm H có tọa độ (10, 4) (vì H nằm trên đường thẳng kéo dài từ AD).

4. **Xác định tọa độ điểm I:**
- Điểm I là giao điểm của đường chéo hình vuông thứ hai, nên tọa độ của I là trung điểm của đoạn HG.
- Tọa độ của I là \((\frac{10+10}{2}, \frac{0+4}{2}) = (10, 2)\).

5. **Tính diện tích tam giác FHI:**
- Sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ các điểm:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
- Với \( F(6, 0) \), \( H(10, 4) \), và \( I(10, 2) \):
\[
S = \frac{1}{2} \left| 6(4 - 2) + 10(2 - 0) + 10(0 - 4) \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| 6 \cdot 2 + 10 \cdot 2 + 10 \cdot (-4) \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| 12 + 20 - 40 \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| -8 \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ cm}^2
\]

Vậy, diện tích tam giác FHI là 4 cm².