Để chứng minh rằng \( A \) là một lũy thừa của 2 với \( A = 4 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2003} + 2^{2004} \), ta sẽ phân tích biểu thức này.

Trước hết, ta viết lại \( A \) dưới dạng tổng của các số hạng:

\[ A = 4 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2003} + 2^{2004} \]

Chúng ta nhận thấy rằng \( 4 = 2^2 \), do đó ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[ A = 2^2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2003} + 2^{2004} \]

Bây giờ, ta nhóm các số hạng lại:

\[ A = 2^2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2003} + 2^{2004} \]

Ta thấy rằng tất cả các số hạng từ \( 2^2 \) đến \( 2^{2004} \) đều là các lũy thừa của 2. Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng tổng của một cấp số nhân với công bội là 2:

\[ A = 2^2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2003} + 2^{2004} \]

Để đơn giản hóa, ta có thể tách riêng \( 2^2 \) ra:

\[ A = 2^2 (1 + 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2002}) \]

Chúng ta nhận thấy rằng \( 1 + 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2002} \) là một cấp số nhân với công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1. Tổng của cấp số nhân này có thể được tính bằng công thức tổng của cấp số nhân:

\[ S = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Trong đó:
- \( a = 1 \) là số hạng đầu tiên,
- \( r = 2 \) là công bội,
- \( n = 2003 \) là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức, ta có:

\[ S = 1 \cdot \frac{2^{2003} - 1}{2 - 1} = 2^{2003} - 1 \]

Do đó, ta có:

\[ A = 2^2 (2^{2003} - 1) \]

Tuy nhiên, ta đã bỏ sót một số hạng \( 2^{2004} \) trong tổng ban đầu. Do đó, ta cần thêm lại số hạng này:

\[ A = 2^2 (2^{2003} - 1) + 2^{2004} \]

Chúng ta có thể viết lại \( 2^{2004} \) như sau:

\[ 2^{2004} = 2^2 \cdot 2^{2002} \]

Do đó, ta có:

\[ A = 2^2 (2^{2003} - 1) + 2^2 \cdot 2^{2002} \]

\[ A = 2^2 (2^{2003} - 1 + 2^{2002}) \]

\[ A = 2^2 (2^{2003} - 1 + 2^{2002}) \]

\[ A = 2^2 (2^{2003} + 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (2^{2002} (2 + 1) - 1) \]

\[ A = 2^2 (2^{2002} \cdot 3 - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 \cdot 3 \cdot 2^{2002} - 2^2 \]

\[ A = 2^2 \cdot 3 \cdot 2^{2002} - 2^2 \]

\[ A = 2^2 \cdot 3 \cdot 2^{2002} - 2^2 \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1) \]

\[ A = 2^2 (3 \cdot 2^{2002} - 1