Để chứng minh các tính chất hình học trong bài toán này, chúng ta cần vẽ hình và sử dụng các định lý hình học cơ bản. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Vẽ hình bình hành ABCD**:
- Vẽ hình bình hành ABCD với các đỉnh A, B, C, D.
- Nối đường chéo BD.

2. **Kẻ AE vuông góc với BD**:
- Kẻ đường thẳng AE vuông góc với BD tại điểm E.

3. **Chứng minh AE // CF**:
- Trong hình bình hành ABCD, ta có AD // BC và AB // DC.
- Vì AE vuông góc với BD, nên góc AEB = 90 độ.
- Do tính chất đối xứng của hình bình hành, đường chéo BD chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau: tam giác ABD và tam giác CBD.
- Tương tự, kẻ CF vuông góc với BD tại điểm F.
- Vì AE và CF đều vuông góc với BD, nên AE // CF (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

4. **Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành**:
- Ta đã chứng minh AE // CF.
- Trong hình bình hành ABCD, ta có AD // BC.
- Vì E và F là các điểm trên BD, nên AE và CF là các đoạn thẳng song song và bằng nhau (do tính chất đối xứng của hình bình hành).
- Do đó, tứ giác AECF có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Theo định nghĩa, tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng AE // CF và tứ giác AECF là hình bình hành.