Tìm cực trị của hàm số sau

Để tìm cực trị của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 9}{x - 2} \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số:**

Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \) với \( u(x) = x^2 - 2x + 9 \) và \( v(x) = x - 2 \), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương số:

\[
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]

Tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \):

\[
u'(x) = 2x - 2
\]
\[
v'(x) = 1
\]

Áp dụng vào công thức đạo hàm của thương số:

\[
y' = \frac{(2x - 2)(x - 2) - (x^2 - 2x + 9)(1)}{(x - 2)^2}
\]

Tiếp tục tính toán:

\[
y' = \frac{(2x^2 - 4x - 2x + 4) - (x^2 - 2x + 9)}{(x - 2)^2}
\]
\[
y' = \frac{2x^2 - 6x + 4 - x^2 + 2x - 9}{(x - 2)^2}
\]
\[
y' = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2}
\]

2. **Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định:**

Đạo hàm \( y' = 0 \) khi tử số bằng 0:

\[
x^2 - 4x - 5 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) = 0
\]

Vậy, \( x = 5 \) hoặc \( x = -1 \).

Đạo hàm không xác định khi mẫu số bằng 0:

\[
(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2
\]

3. **Xác định tính chất của các điểm tìm được:**

- Tại \( x = 5 \):

Xét dấu của \( y' \) quanh \( x = 5 \):

\[
y' = \frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 2)^2}
\]

- Khi \( x < 5 \) và gần 5, \( y' < 0 \).
- Khi \( x > 5 \) và gần 5, \( y' > 0 \).

Vậy \( x = 5 \) là điểm cực tiểu.

- Tại \( x = -1 \):

Xét dấu của \( y' \) quanh \( x = -1 \):

\[
y' = \frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 2)^2}
\]

- Khi \( x < -1 \) và gần -1, \( y' > 0 \).
- Khi \( x > -1 \) và gần -1, \( y' < 0 \).

Vậy \( x = -1 \) là điểm cực đại.

- Tại \( x = 2 \):

Hàm số không xác định tại \( x = 2 \), do đó không có cực trị tại điểm này.

4. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:**

- Tại \( x = 5 \):

\[
y(5) = \frac{5^2 - 2 \cdot 5 + 9}{5 - 2} = \frac{25 - 10 + 9}{3} = \frac{24}{3} = 8
\]

- Tại \( x = -1 \):

\[
y(-1) = \frac{(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 9}{-1 - 2} = \frac{1 + 2 + 9}{-3} = \frac{12}{-3} = -4
\]

Vậy, hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 9}{x - 2} \) có cực đại tại \( x = -1 \) với giá trị \( y = -4 \) và cực tiểu tại \( x = 5 \) với giá trị \( y = 8 \).