Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần vẽ hình và xác định các điểm và đoạn thẳng liên quan.

1. **Vẽ hình:**
- Vẽ tam giác ABC vuông tại A.
- Đặt AB = 15 cm và BC = 25 cm.
- Đường phân giác BD cắt AC tại D.
- Từ D dựng đường vuông góc với BC tại E.
- Đường vuông góc từ D cắt AB tại I.

2. **Tính độ dài AC:**
Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính AC:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài DC và DA:**
Đường phân giác BD chia cạnh AC thành hai đoạn tỉ lệ với các cạnh kề của tam giác vuông tại A. Theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]
Thay số vào, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{15}{20}
\]
Đơn giản hóa tỉ lệ:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{3}{4}
\]

Gọi AD = 3x và DC = 4x. Vì AD + DC = AC, ta có:
\[
3x + 4x = 20 \text{ cm}
\]
\[
7x = 20 \text{ cm}
\]
\[
x = \frac{20}{7} \text{ cm}
\]

Vậy:
\[
AD = 3x = 3 \times \frac{20}{7} = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ cm}
\]
\[
DC = 4x = 4 \times \frac{20}{7} = \frac{80}{7} \approx 11.43 \text{ cm}
\]

Kết luận:
- Độ dài đoạn AD là \(\frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ cm}\).
- Độ dài đoạn DC là \(\frac{80}{7} \approx 11.43 \text{ cm}\).