Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( \angle BAC = 90^\circ \). Kẻ đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \). Tia phân giác của góc \( \angle HAC \) cắt cạnh \( BC \) tại \( D \) và tia phân giác của góc \( \angle HAB \) cắt cạnh \( BC \) tại \( E \). Chứng minh rằng \( AB + AC = BC + DE \).

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các định lý về đường phân giác.

1. **Tính chất của tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle BAC = 90^\circ \), ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

2. **Đường phân giác trong tam giác vuông:**
- Đường phân giác của góc \( \angle HAC \) cắt cạnh \( BC \) tại \( D \). Theo định lý đường phân giác trong tam giác vuông, ta có:
\[
\frac{HD}{DC} = \frac{AH}{AC}
\]
- Đường phân giác của góc \( \angle HAB \) cắt cạnh \( BC \) tại \( E \). Theo định lý đường phân giác trong tam giác vuông, ta có:
\[
\frac{HE}{EB} = \frac{AH}{AB}
\]

3. **Tính chất của đường cao trong tam giác vuông:**
- Đường cao \( AH \) trong tam giác vuông \( ABC \) chia \( BC \) thành hai đoạn \( BH \) và \( HC \) sao cho:
\[
BH \cdot HC = AH^2
\]

4. **Chứng minh \( AB + AC = BC + DE \):**
- Xét tam giác \( AHC \) và tam giác \( AHB \), ta có:
\[
\angle HAC = \angle HAE + \angle EAC
\]
\[
\angle HAB = \angle HAD + \angle DAB
\]
- Do đó, \( D \) và \( E \) là các điểm chia \( BC \) theo tỉ lệ của các đoạn phân giác.

- Ta có:
\[
DE = HD + HE
\]
- Từ các tính chất trên, ta có thể suy ra:
\[
AB + AC = AH + HB + AH + HC = 2AH + (HB + HC) = 2AH + BC
\]
- Do đó:
\[
AB + AC = BC + DE
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AB + AC = BC + DE \).