Để tìm phân số \(\frac{x}{9}\) sao cho \(\frac{x}{9} < \frac{4}{7} < \frac{x+1}{9}\), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi bất đẳng thức thứ nhất:**
\[
\frac{x}{9} < \frac{4}{7}
\]
Nhân cả hai vế với 63 (là bội chung nhỏ nhất của 9 và 7):
\[
7x < 36
\]
Chia cả hai vế cho 7:
\[
x < \frac{36}{7} \approx 5.14
\]

2. **Biến đổi bất đẳng thức thứ hai:**
\[
\frac{4}{7} < \frac{x+1}{9}
\]
Nhân cả hai vế với 63:
\[
36 < 7(x + 1)
\]
Giải phương trình:
\[
36 < 7x + 7
\]
Trừ 7 từ cả hai vế:
\[
29 < 7x
\]
Chia cả hai vế cho 7:
\[
\frac{29}{7} \approx 4.14 < x
\]

3. **Kết hợp hai bất đẳng thức:**
\[
\frac{29}{7} < x < \frac{36}{7}
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
4.14 < x < 5.14
\]

4. **Tìm giá trị nguyên của \(x\):**
Giá trị nguyên của \(x\) trong khoảng này là \(x = 5\).

5. **Kiểm tra lại:**
\[
\frac{5}{9} < \frac{4}{7} < \frac{5+1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
\]
Ta có:
\[
\frac{5}{9} \approx 0.555 \quad \text{và} \quad \frac{4}{7} \approx 0.571 \quad \text{và} \quad \frac{2}{3} \approx 0.667
\]
Rõ ràng:
\[
0.555 < 0.571 < 0.667
\]

Vậy phân số \(\frac{x}{9}\) thỏa mãn điều kiện đã cho là \(\frac{5}{9}\).