Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các đường cao, cũng như các định lý về đồng dạng và phân giác.

### Phần a: Chứng minh \( AF \cdot AB = AE \cdot AC \) và từ đó suy ra \( \triangle AEF \) đồng dạng với \( \triangle ABC \)

1. **Chứng minh \( AF \cdot AB = AE \cdot AC \)**:

- Xét tam giác \( \triangle ABC \) với các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại \( H \).
- Ta có \( H \) là trực tâm của tam giác \( \triangle ABC \).
- Do \( AD \) là đường cao, nên \( \angle ADB = 90^\circ \) và \( \angle ADC = 90^\circ \).
- Tương tự, \( BE \) và \( CF \) cũng là các đường cao, nên \( \angle BEC = 90^\circ \) và \( \angle CFA = 90^\circ \).

- Xét tam giác \( \triangle AEF \):
- \( H \) là trực tâm của tam giác \( \triangle AEF \).
- Do đó, \( \angle AHF = 90^\circ \) và \( \angle AHE = 90^\circ \).

- Sử dụng định lý đường cao trong tam giác nhọn:
- Ta có \( \frac{AF}{AE} = \frac{AB \cdot \sin(\angle BAF)}{AC \cdot \sin(\angle CAF)} \).
- Vì \( \angle BAF = \angle CAF \) (góc đối đỉnh), nên \( \sin(\angle BAF) = \sin(\angle CAF) \).

- Do đó, \( \frac{AF}{AE} = \frac{AB}{AC} \) hay \( AF \cdot AC = AE \cdot AB \).

2. **Suy ra \( \triangle AEF \) đồng dạng với \( \triangle ABC \)**:

- Từ \( AF \cdot AB = AE \cdot AC \), ta có \( \frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB} \).
- Xét hai tam giác \( \triangle AEF \) và \( \triangle ABC \):
- Ta có \( \frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB} \).
- \( \angle A \) là góc chung.

- Do đó, theo định lý đồng dạng, \( \triangle AEF \) đồng dạng với \( \triangle ABC \).

### Phần b: Chứng minh \( FH \) là phân giác của \( \angle EFD \)

1. **Chứng minh \( FH \) là phân giác của \( \angle EFD \)**:

- Xét tam giác \( \triangle AEF \) với \( H \) là trực tâm.
- Ta có \( \angle AHF = 90^\circ \) và \( \angle AHE = 90^\circ \).

- Xét tam giác \( \triangle EFD \):
- \( H \) là giao điểm của các đường cao \( AD, BE, CF \).
- Do đó, \( H \) là trực tâm của tam giác \( \triangle EFD \).

- Xét tam giác \( \triangle EFD \):
- \( FH \) là đường cao từ \( F \) đến \( ED \).
- Vì \( H \) là trực tâm, nên \( FH \) cũng là phân giác của \( \angle EFD \).

- Do đó, \( FH \) là phân giác của \( \angle EFD \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.