Để chứng minh \( A \) là trung điểm của \( PQ \), ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và các vector.

1. **Xác định các điểm trung điểm:**
- \( E \) là trung điểm của \( AB \) nên ta có:
\[
\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]
- \( F \) là trung điểm của \( AC \) nên ta có:
\[
\vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}
\]

2. **Xác định các điểm \( P \) và \( Q \):**
- \( E \) là trung điểm của \( CP \) nên ta có:
\[
\vec{E} = \frac{\vec{C} + \vec{P}}{2} \Rightarrow \vec{P} = 2\vec{E} - \vec{C}
\]
- \( F \) là trung điểm của \( BQ \) nên ta có:
\[
\vec{F} = \frac{\vec{B} + \vec{Q}}{2} \Rightarrow \vec{Q} = 2\vec{F} - \vec{B}
\]

3. **Thay các giá trị của \( \vec{E} \) và \( \vec{F} \) vào các biểu thức của \( \vec{P} \) và \( \vec{Q} \):**
- Thay \( \vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \) vào biểu thức của \( \vec{P} \):
\[
\vec{P} = 2\left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\right) - \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} - \vec{C}
\]
- Thay \( \vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \) vào biểu thức của \( \vec{Q} \):
\[
\vec{Q} = 2\left(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}\right) - \vec{B} = \vec{A} + \vec{C} - \vec{B}
\]

4. **Tính vector \( \vec{PQ} \):**
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (\vec{A} + \vec{C} - \vec{B}) - (\vec{A} + \vec{B} - \vec{C}) = 2\vec{C} - 2\vec{B}
\]

5. **Tính vector \( \vec{AP} \) và \( \vec{AQ} \):**
- Vector \( \vec{AP} \):
\[
\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (\vec{A} + \vec{B} - \vec{C}) - \vec{A} = \vec{B} - \vec{C}
\]
- Vector \( \vec{AQ} \):
\[
\vec{AQ} = \vec{Q} - \vec{A} = (\vec{A} + \vec{C} - \vec{B}) - \vec{A} = \vec{C} - \vec{B}
\]

6. **Tính tổng của \( \vec{AP} \) và \( \vec{AQ} \):**
\[
\vec{AP} + \vec{AQ} = (\vec{B} - \vec{C}) + (\vec{C} - \vec{B}) = \vec{0}
\]

Vì tổng của \( \vec{AP} \) và \( \vec{AQ} \) bằng \( \vec{0} \), điều này có nghĩa là \( A \) là trung điểm của \( PQ \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( A \) là trung điểm của \( PQ \).