Để chứng minh rằng \( 10^6 - 5^7 \) chia hết cho 59, ta cần chứng minh rằng \( 10^6 - 5^7 \equiv 0 \pmod{59} \). Điều này tương đương với việc chứng minh \( 10^6 \equiv 5^7 \pmod{59} \).

Trước hết, ta sẽ tính \( 10^6 \pmod{59} \):

\[
10^6 = (10^2)^3 = 100^3
\]

Tính \( 100 \pmod{59} \):

\[
100 \div 59 = 1 \text{ dư } 41 \quad \Rightarrow \quad 100 \equiv 41 \pmod{59}
\]

Do đó:

\[
100^3 \equiv 41^3 \pmod{59}
\]

Bây giờ, ta tính \( 41^3 \pmod{59} \):

\[
41^2 = 1681
\]

Tính \( 1681 \pmod{59} \):

\[
1681 \div 59 = 28 \text{ dư } 29 \quad \Rightarrow \quad 1681 \equiv 29 \pmod{59}
\]

Do đó:

\[
41^2 \equiv 29 \pmod{59}
\]

Tiếp tục tính \( 41^3 \):

\[
41^3 = 41 \times 41^2 = 41 \times 29 = 1189
\]

Tính \( 1189 \pmod{59} \):

\[
1189 \div 59 = 20 \text{ dư } 9 \quad \Rightarrow \quad 1189 \equiv 9 \pmod{59}
\]

Vậy:

\[
10^6 \equiv 9 \pmod{59}
\]

Tiếp theo, ta tính \( 5^7 \pmod{59} \):

\[
5^7 = (5^3)^2 \times 5
\]

Tính \( 5^3 \):

\[
5^3 = 125
\]

Tính \( 125 \pmod{59} \):

\[
125 \div 59 = 2 \text{ dư } 7 \quad \Rightarrow \quad 125 \equiv 7 \pmod{59}
\]

Do đó:

\[
5^3 \equiv 7 \pmod{59}
\]

Tiếp tục tính \( 5^7 \):

\[
5^7 = (5^3)^2 \times 5 = 7^2 \times 5 = 49 \times 5 = 245
\]

Tính \( 245 \pmod{59} \):

\[
245 \div 59 = 4 \text{ dư } 9 \quad \Rightarrow \quad 245 \equiv 9 \pmod{59}
\]

Vậy:

\[
5^7 \equiv 9 \pmod{59}
\]

Do đó:

\[
10^6 \equiv 5^7 \pmod{59}
\]

Suy ra:

\[
10^6 - 5^7 \equiv 0 \pmod{59}
\]

Vậy \( 10^6 - 5^7 \) chia hết cho 59.