Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\cos 6a - \cos 7a - \cos 8a + \cos 9a}{\sin 6a - \sin 7a - \sin 8a + \sin 9a} \), ta có thể sử dụng các công thức biến đổi lượng giác.

Đầu tiên, ta sử dụng công thức biến đổi hiệu của hai cosin và hiệu của hai sin:

\[
\cos x - \cos y = -2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)
\]

\[
\sin x - \sin y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)
\]

Áp dụng công thức này cho từng cặp trong tử và mẫu:

1. Tử số: \(\cos 6a - \cos 7a\) và \(\cos 8a - \cos 9a\)

\[
\cos 6a - \cos 7a = -2 \sin \left( \frac{6a + 7a}{2} \right) \sin \left( \frac{6a - 7a}{2} \right) = -2 \sin \left( \frac{13a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right)
\]

\[
\cos 8a - \cos 9a = -2 \sin \left( \frac{8a + 9a}{2} \right) \sin \left( \frac{8a - 9a}{2} \right) = -2 \sin \left( \frac{17a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right)
\]

Vậy tử số trở thành:

\[
\cos 6a - \cos 7a - \cos 8a + \cos 9a = -2 \sin \left( \frac{13a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right) - (-2 \sin \left( \frac{17a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right))
\]

\[
= -2 \sin \left( \frac{13a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right) + 2 \sin \left( \frac{17a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right)
\]

\[
= 2 \sin \left( -\frac{a}{2} \right) \left( \sin \left( \frac{17a}{2} \right) - \sin \left( \frac{13a}{2} \right) \right)
\]

2. Mẫu số: \(\sin 6a - \sin 7a\) và \(\sin 8a - \sin 9a\)

\[
\sin 6a - \sin 7a = 2 \cos \left( \frac{6a + 7a}{2} \right) \sin \left( \frac{6a - 7a}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{13a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right)
\]

\[
\sin 8a - \sin 9a = 2 \cos \left( \frac{8a + 9a}{2} \right) \sin \left( \frac{8a - 9a}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{17a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right)
\]

Vậy mẫu số trở thành:

\[
\sin 6a - \sin 7a - \sin 8a + \sin 9a = 2 \cos \left( \frac{13a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right) - 2 \cos \left( \frac{17a}{2} \right) \sin \left( -\frac{a}{2} \right)
\]

\[
= 2 \sin \left( -\frac{a}{2} \right) \left( \cos \left( \frac{13a}{2} \right) - \cos \left( \frac{17a}{2} \right) \right)
\]

Do đó, biểu thức \( A \) trở thành:

\[
A = \frac{2 \sin \left( -\frac{a}{2} \right) \left( \sin \left( \frac{17a}{2} \right) - \sin \left( \frac{13a}{2} \right) \right)}{2 \sin \left( -\frac{a}{2} \right) \left( \cos \left( \frac{13a}{2} \right) - \cos \left( \frac{17a}{2} \right) \right)}
\]

Rút gọn \( 2 \sin \left( -\frac{a}{2} \right) \):

\[
A = \frac{\sin \left( \frac{17a}{2} \right) - \sin \left( \frac{13a}{2} \right)}{\cos \left( \frac{13a}{2} \right) - \cos \left( \frac{17a}{2} \right)}
\]

Sử dụng công thức biến đổi hiệu của hai sin và hai cos:

\[
\sin x - \sin y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)
\]

\[
\cos x - \cos y = -2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin \left( \frac{x - y}{2} \right)
\]

Áp dụng cho \( x = \frac{17a}{2} \) và \( y = \frac{13a}{2} \):

\[
\sin \left( \frac{17a}{2} \right) - \sin \left( \frac{13a}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{17a + 13a}{4} \right) \sin \left( \frac{17a - 13a}{4} \right) = 2 \cos (7.5a) \sin (a)
\]

\[
\cos \left( \frac{13a}{2} \right) - \cos \left( \frac{17a}{2} \right) = -2 \sin \left( \frac{17a + 13a}{4} \right) \sin \left( \frac{17a - 13a}{4} \right) = -2 \sin (7.5a) \sin (a)
\]

Vậy:

\[
A = \frac{2 \cos (7.5a) \sin (a)}{-2 \sin (7.5a) \sin (a)} = -\frac{\cos (7.5a)}{\sin (7.5a)} = -\cot (7.5a)
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
A = -\cot (7.5a)
\]