Để chứng minh các mệnh đề toán học này, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một cách chi tiết.

### a) Chứng minh rằng \( A = x^2 + x + 1 \) luôn dương với mọi \( x \)

Xét biểu thức \( A = x^2 + x + 1 \).

Để chứng minh \( A \) luôn dương với mọi \( x \), ta cần chứng minh rằng \( A > 0 \) với mọi \( x \).

Ta có thể xem xét giá trị nhỏ nhất của hàm số \( A \). Để làm điều này, ta có thể hoàn thành bình phương:

\[ A = x^2 + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \]

Biểu thức \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \) luôn không âm (luôn lớn hơn hoặc bằng 0) với mọi \( x \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[ \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \]

Vì \( \frac{3}{4} > 0 \), nên \( A = x^2 + x + 1 \) luôn dương với mọi \( x \).

### b) Chứng minh rằng \( B = 4x - 10 - x^2 \) luôn âm với mọi \( x \)

Xét biểu thức \( B = 4x - 10 - x^2 \).

Để chứng minh \( B \) luôn âm với mọi \( x \), ta cần chứng minh rằng \( B < 0 \) với mọi \( x \).

Ta có thể viết lại biểu thức \( B \) dưới dạng:

\[ B = -x^2 + 4x - 10 \]

Đây là một hàm bậc hai có hệ số của \( x^2 \) là âm, do đó đồ thị của nó là một parabol mở xuống. Để tìm giá trị lớn nhất của \( B \), ta tìm đỉnh của parabol này.

Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có hoành độ \( x = -\frac{b}{2a} \). Ở đây, \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = -10 \).

Hoành độ của đỉnh là:

\[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \]

Thế \( x = 2 \) vào biểu thức \( B \) để tìm giá trị lớn nhất của \( B \):

\[ B = - (2)^2 + 4(2) - 10 = -4 + 8 - 10 = -6 \]

Vì giá trị lớn nhất của \( B \) là -6, nên \( B \) luôn nhỏ hơn 0 với mọi \( x \).

Do đó, \( B = 4x - 10 - x^2 \) luôn âm với mọi \( x \).