Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Chứng minh rằng: A = x^2 + x + 1 luôn dương với mọi x? B = 4x - 10 - x^2 luôn âm với mọi x

bài 14:Chứng minh rằng

a)A=x^2+x+1 luôn dương với mọi x

b)B=4x-10-x^2 luôn âm với mọi x
 

2 Xem trả lời
Hỏi chi tiết
52
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh các mệnh đề toán học này, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một cách chi tiết.

### a) Chứng minh rằng \( A = x^2 + x + 1 \) luôn dương với mọi \( x \)

Xét biểu thức \( A = x^2 + x + 1 \).

Để chứng minh \( A \) luôn dương với mọi \( x \), ta cần chứng minh rằng \( A > 0 \) với mọi \( x \).

Ta có thể xem xét giá trị nhỏ nhất của hàm số \( A \). Để làm điều này, ta có thể hoàn thành bình phương:

\[ A = x^2 + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \]

Biểu thức \( \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \) luôn không âm (luôn lớn hơn hoặc bằng 0) với mọi \( x \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[ \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \]

Vì \( \frac{3}{4} > 0 \), nên \( A = x^2 + x + 1 \) luôn dương với mọi \( x \).

### b) Chứng minh rằng \( B = 4x - 10 - x^2 \) luôn âm với mọi \( x \)

Xét biểu thức \( B = 4x - 10 - x^2 \).

Để chứng minh \( B \) luôn âm với mọi \( x \), ta cần chứng minh rằng \( B < 0 \) với mọi \( x \).

Ta có thể viết lại biểu thức \( B \) dưới dạng:

\[ B = -x^2 + 4x - 10 \]

Đây là một hàm bậc hai có hệ số của \( x^2 \) là âm, do đó đồ thị của nó là một parabol mở xuống. Để tìm giá trị lớn nhất của \( B \), ta tìm đỉnh của parabol này.

Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có hoành độ \( x = -\frac{b}{2a} \). Ở đây, \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = -10 \).

Hoành độ của đỉnh là:

\[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \]

Thế \( x = 2 \) vào biểu thức \( B \) để tìm giá trị lớn nhất của \( B \):

\[ B = - (2)^2 + 4(2) - 10 = -4 + 8 - 10 = -6 \]

Vì giá trị lớn nhất của \( B \) là -6, nên \( B \) luôn nhỏ hơn 0 với mọi \( x \).

Do đó, \( B = 4x - 10 - x^2 \) luôn âm với mọi \( x \).
1
0
Linh xg
05/07 09:02:58
+5đ tặng

Ta có: 4x − 10 − x2= −(x2 − 4x + 4) − 6

= −(x − 2)2 − 6

Vì (x − 2)2 ≥ 0, ∀ x ∈ℝ

Suy ra −(x − 2)2 ≤ 0, ∀ x ∈ℝ

⇒−(x − 2)2 − 6 ≤ −6, ∀ x ∈ℝ

Vậy 4x − 10 − x2 luôn luôn âm với mọi x.
a) => A=x^2 +2x.1/2 + 1/4 + 3/4
=(x+1/2)^2 +3/4
Ta có (x+1/2)^2 >=0
=> A >0

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập
1
0
Ngoc Trinh
05/07 09:03:12
+4đ tặng

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường
×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500k
Gửi câu hỏi
×