Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 27cm và đáy bé AB =15. Đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài cạnh bên và đường chéo

Để tính độ dài cạnh bên và đường chéo của hình thang cân ABCD với đáy lớn CD = 27 cm, đáy bé AB = 15 cm và đường chéo vuông góc với cạnh bên, ta làm như sau:

1. **Ký hiệu và phân tích:**
- Gọi \( AB = a = 15 \) cm.
- Gọi \( CD = b = 27 \) cm.
- Gọi \( AD = BC = c \) là cạnh bên cần tìm.
- Gọi \( AC \) và \( BD \) là hai đường chéo, trong đó \( AC \) vuông góc với cạnh bên \( AD \).

2. **Tính chiều cao của hình thang:**
- Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên \( CD \).
- Vì \( AC \) vuông góc với \( AD \), nên \( AH \) cũng vuông góc với \( CD \).
- Gọi \( AH = h \) là chiều cao của hình thang.

3. **Tính đoạn \( HD \):**
- Vì \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên \( CD \), nên \( HD = \frac{b - a}{2} = \frac{27 - 15}{2} = 6 \) cm.

4. **Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHD \):**
- Trong tam giác vuông \( AHD \):
\[
AD^2 = AH^2 + HD^2
\]
- Ta có:
\[
c^2 = h^2 + 6^2
\]

5. **Tính đoạn \( AC \):**
- Vì \( AC \) vuông góc với \( AD \), nên \( AC \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( AHD \):
\[
AC^2 = AD^2 + AH^2
\]
- Ta có:
\[
AC^2 = c^2 + h^2
\]

6. **Tính chiều cao \( h \):**
- Trong tam giác vuông \( AHD \):
\[
h^2 = c^2 - 6^2
\]

7. **Tính cạnh bên \( c \):**
- Ta biết rằng \( c \) là cạnh bên của hình thang cân, và từ định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHD \):
\[
c^2 = h^2 + 6^2
\]
- Vì \( h \) là chiều cao của hình thang, ta có thể tính \( h \) bằng cách sử dụng công thức:
\[
h = \sqrt{c^2 - 6^2}
\]

8. **Tính đường chéo \( AC \):**
- Từ định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHD \):
\[
AC^2 = c^2 + h^2
\]

9. **Kết quả cuối cùng:**
- Giải hệ phương trình trên để tìm \( c \) và \( h \).

Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng một số bước tính toán cụ thể hơn:

- Giả sử \( AD = c \), ta có:
\[
c^2 = h^2 + 6^2 \implies h^2 = c^2 - 36
\]

- Đường chéo \( AC \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( AHD \):
\[
AC^2 = c^2 + h^2 = c^2 + (c^2 - 36) = 2c^2 - 36
\]

- Giải phương trình để tìm \( c \):
\[
c = \sqrt{h^2 + 36}
\]

- Đường chéo \( AC \):
\[
AC = \sqrt{2c^2 - 36}
\]

Tóm lại, để tìm chính xác độ dài cạnh bên và đường chéo, ta cần giải hệ phương trình trên. Tuy nhiên, vì bài toán yêu cầu tính toán cụ thể, ta có thể sử dụng các bước trên để tìm ra giá trị cụ thể của \( c \) và \( AC \).