Để chứng minh \( BM \) vuông góc với \( BN \) và \( CM \) vuông góc với \( CN \), ta sẽ sử dụng các tính chất của đường phân giác và các góc vuông trong tam giác.

**Bước 1: Chứng minh \( BM \) vuông góc với \( BN \)**

1. Gọi \( D \) là giao điểm của \( BC \) với đường phân giác của góc \( A \).
2. Vì \( O \) là giao điểm của các đường phân giác của góc \( B \) và \( C \), nên \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).
3. Đường thẳng \( AD \) là đường phân giác của góc \( BAC \), do đó \( D \) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) với cạnh \( BC \).
4. Gọi \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \). Khi đó, \( I \) nằm trên đường phân giác của góc \( BAC \) và \( I \) cũng là giao điểm của các đường phân giác của các góc \( B \) và \( C \).
5. Vì \( A \) vẽ một đường thẳng vuông góc với \( OA \) cắt các tia \( BO \) và \( CO \) lần lượt tại \( M \) và \( N \), nên \( AM \) và \( AN \) đều vuông góc với \( OA \).

Do đó, \( AM \) và \( AN \) là các đường cao của tam giác \( AON \).

6. Xét tam giác \( AON \):
- \( AM \) vuông góc với \( OA \).
- \( AN \) vuông góc với \( OA \).

Vì vậy, \( M \) và \( N \) là các điểm chân đường cao từ \( A \) xuống các cạnh \( BO \) và \( CO \).

7. Xét tứ giác \( BMNO \):
- \( AM \) vuông góc với \( OA \).
- \( AN \) vuông góc với \( OA \).

Do đó, \( BM \) vuông góc với \( BN \).

**Bước 2: Chứng minh \( CM \) vuông góc với \( CN \)**

1. Tương tự như trên, xét tam giác \( AON \):
- \( AM \) vuông góc với \( OA \).
- \( AN \) vuông góc với \( OA \).

Vì vậy, \( M \) và \( N \) là các điểm chân đường cao từ \( A \) xuống các cạnh \( BO \) và \( CO \).

2. Xét tứ giác \( CMNO \):
- \( AM \) vuông góc với \( OA \).
- \( AN \) vuông góc với \( OA \).

Do đó, \( CM \) vuông góc với \( CN \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng \( BM \) vuông góc với \( BN \) và \( CM \) vuông góc với \( CN \).