Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. Trước tiên, chúng ta sẽ vẽ hình để dễ dàng hình dung các bước chứng minh.

### Hình vẽ:
1. Vẽ tam giác ABC cân tại A.
2. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
3. Lấy N là trung điểm của AC.
4. Kẻ đoạn thẳng BN và AH, chúng cắt nhau tại G.
5. Trên tia đối của tia NG, lấy điểm K sao cho NK = NG.

### a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH:
- Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
- AH là đường cao nên AH vuông góc với BC.
- Trong tam giác ABH và tam giác ACH:
- AB = AC (giả thiết tam giác cân).
- AH là cạnh chung.
- BH = CH (vì H là trung điểm của BC trong tam giác cân).
=> Tam giác ABH = tam giác ACH (cạnh - góc - cạnh).

### b) Chứng minh CK vuông góc BC:
- Vì N là trung điểm của AC và NK = NG, nên K là điểm đối xứng của G qua N.
- G là giao điểm của BN và AH, nên G nằm trên đường trung trực của AC.
- Do đó, K cũng nằm trên đường trung trực của AC.
- Vì AH vuông góc với BC và K nằm trên đường trung trực của AC, nên CK vuông góc với BC.

### c) Gọi I là giao điểm của KH và CG. Chứng minh I là trọng tâm của tam giác BCK:
- G là giao điểm của BN và AH, nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
- K là điểm đối xứng của G qua N, nên K là điểm đối xứng của trọng tâm G qua trung điểm N của AC.
- Do đó, CG là đường trung tuyến của tam giác BCK.
- KH là đường trung tuyến của tam giác BCK vì K là điểm đối xứng của G qua N.
- I là giao điểm của hai đường trung tuyến CG và KH, nên I là trọng tâm của tam giác BCK.

### d) Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh GM < 2/3 (BC + AG):
- G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = 2/3 AH.
- M là trung điểm của AB, nên AM = MB.
- Xét tam giác ABH và tam giác ACH, ta có:
- AB = AC.
- AH là đường cao chung.
- BH = CH.
- Do đó, GM là đoạn thẳng nối từ trọng tâm G đến trung điểm M của AB.
- Theo tính chất của trọng tâm, GM = 2/3 đoạn thẳng từ G đến M.
- Vì BC = 2BH và AG = 2/3 AH, ta có:
- GM < 2/3 (BC + AG).

### Hình vẽ chi tiết:
```
A
|\
| \
| \
| \
| \
| \
H------B
| /
| /
| /
| /
| /
|/
C
```
- AH vuông góc với BC tại H.
- N là trung điểm của AC.
- BN và AH cắt nhau tại G.
- K là điểm trên tia đối của NG sao cho NK = NG.
- I là giao điểm của KH và CG.

Hy vọng các bước chứng minh và hình vẽ chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán.