Tìm tất cả các số tự nhiên m, n thỏa mãn 2^(4mn) + 9 là số nguyên tố

Để tìm tất cả các số tự nhiên \( m \) và \( n \) sao cho \( 2^{4mn} + 9 \) là số nguyên tố, ta cần phân tích biểu thức này.

Giả sử \( p = 2^{4mn} + 9 \) là một số nguyên tố.

### Trường hợp 1: \( 4mn = 1 \)
Nếu \( 4mn = 1 \), thì \( m \) và \( n \) phải là các số tự nhiên sao cho \( 4mn = 1 \). Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì \( 4mn \) luôn là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 4 khi \( m \) và \( n \) là các số tự nhiên.

### Trường hợp 2: \( 4mn \geq 2 \)
Nếu \( 4mn \geq 2 \), ta có thể viết lại biểu thức \( 2^{4mn} + 9 \) dưới dạng:

\[ 2^{4mn} + 9 = (2^{2mn})^2 + 3^2 \]

Sử dụng định lý về tổng của hai bình phương, ta có:

\[ a^2 + b^2 \text{ là số nguyên tố chỉ khi } a = 1 \text{ và } b \text{ là số nguyên tố hoặc ngược lại.} \]

Tuy nhiên, trong trường hợp này, \( 2^{2mn} \) không thể bằng 1 trừ khi \( mn = 0 \), điều này không thể xảy ra vì \( m \) và \( n \) là các số tự nhiên.

### Trường hợp 3: \( 4mn = 2 \)
Nếu \( 4mn = 2 \), thì \( mn = \frac{1}{2} \), điều này cũng không thể xảy ra vì \( m \) và \( n \) là các số tự nhiên.

### Trường hợp 4: \( 4mn = 3 \)
Nếu \( 4mn = 3 \), thì \( mn = \frac{3}{4} \), điều này cũng không thể xảy ra vì \( m \) và \( n \) là các số tự nhiên.

### Trường hợp 5: \( 4mn = 4 \)
Nếu \( 4mn = 4 \), thì \( mn = 1 \). Khi đó, \( m \) và \( n \) phải là các số tự nhiên sao cho tích của chúng bằng 1. Điều này chỉ xảy ra khi \( m = 1 \) và \( n = 1 \).

Kiểm tra lại trường hợp này:

\[ 2^{4 \cdot 1 \cdot 1} + 9 = 2^4 + 9 = 16 + 9 = 25 \]

25 không phải là số nguyên tố.

### Kết luận
Không tồn tại các số tự nhiên \( m \) và \( n \) sao cho \( 2^{4mn} + 9 \) là số nguyên tố.