Để giải bài toán này, ta cần đặt ẩn và lập hệ phương trình.

Gọi số chi tiết máy mà tổ một sản xuất trong tháng thứ nhất là \( x \) và số chi tiết máy mà tổ hai sản xuất trong tháng thứ nhất là \( y \).

Theo đề bài, ta có phương trình:
\[ x + y = 800 \]

Trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất vượt 15%, tức là sản xuất được \( x + 0.15x = 1.15x \) chi tiết máy.
Tổ hai sản xuất vượt 20%, tức là sản xuất được \( y + 0.20y = 1.20y \) chi tiết máy.

Tổng số chi tiết máy mà hai tổ sản xuất trong tháng thứ hai là 945 chi tiết máy, do đó ta có phương trình:
\[ 1.15x + 1.20y = 945 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 800 \\
1.15x + 1.20y = 945
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[ y = 800 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ 1.15x + 1.20(800 - x) = 945 \]
\[ 1.15x + 960 - 1.20x = 945 \]
\[ -0.05x + 960 = 945 \]
\[ -0.05x = 945 - 960 \]
\[ -0.05x = -15 \]
\[ x = \frac{-15}{-0.05} \]
\[ x = 300 \]

Thay \( x = 300 \) vào phương trình \( y = 800 - x \):
\[ y = 800 - 300 \]
\[ y = 500 \]

Vậy trong tháng thứ nhất, tổ một sản xuất được 300 chi tiết máy và tổ hai sản xuất được 500 chi tiết máy.