Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước chứng minh như sau:

### a) Chứng minh: OM = ON

- Gọi \( O \) là gốc tọa độ, \( A \) trên tia \( Ox \) và \( B \) trên tia \( Oy \) sao cho \( OA = OB \).
- Vẽ \( AM \perp Ox \) tại \( M \) và \( BN \perp Oy \) tại \( N \) sao cho \( AM = BN \).

Xét tam giác vuông \( OAM \) và \( OBN \):
- \( OA = OB \) (giả thiết)
- \( AM = BN \) (giả thiết)
- \( \angle OAM = \angle OBN = 90^\circ \)

Do đó, hai tam giác \( OAM \) và \( OBN \) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc vuông - cạnh (cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra \( OM = ON \).

### b) Chứng minh \( \angle AMB = \angle BNA \)

Xét hai tam giác vuông \( AMO \) và \( BNO \):
- \( \angle AMO = \angle BNO = 90^\circ \)
- \( OA = OB \) (giả thiết)
- \( AM = BN \) (giả thiết)

Do đó, hai tam giác \( AMO \) và \( BNO \) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc vuông - cạnh.

Suy ra \( \angle AMB = \angle BNA \).

### c) Chứng minh \( OI \) là đường trung trực của tam giác cân

- Gọi \( MN \) cắt \( Ox \) tại \( E \) và cắt \( Oy \) tại \( F \).
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( AN \) và \( BM \).

Xét tam giác \( AMN \) và \( BNM \):
- \( AM = BN \) (giả thiết)
- \( \angle AMN = \angle BNM = 90^\circ \)

Do đó, tam giác \( AMN \) và \( BNM \) là tam giác vuông cân tại \( M \) và \( N \).

Vì \( AM = BN \) và \( \angle AMN = \angle BNM \), nên \( MN \) là đường trung trực của \( AB \).

Do đó, \( OI \) là đường trung trực của tam giác cân \( AMB \).

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.