Để khai triển các biểu thức trong bài toán, ta sử dụng công thức khai triển bình phương của một tổng hoặc hiệu:

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

Áp dụng công thức này vào từng biểu thức:

a) \((2x + \frac{1}{2})^2\)
\[
= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2
= 4x^2 + 2x + \frac{1}{4}
\]

b) \(\left(\frac{1}{3}x + 2y\right)^2\)
\[
= \left(\frac{1}{3}x\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot 2y + (2y)^2
= \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{3}xy + 4y^2
\]

c) \((2xy - 3)^2\)
\[
= (2xy)^2 - 2 \cdot 2xy \cdot 3 + 3^2
= 4x^2y^2 - 12xy + 9
\]

d) \(\left(\frac{1}{5}x - y\right)^2\)
\[
= \left(\frac{1}{5}x\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{5}x \cdot y + y^2
= \frac{1}{25}x^2 - \frac{2}{5}xy + y^2
\]

Vậy là ta đã khai triển xong các biểu thức.