Để rút gọn biểu thức \( E \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:
\[ E = \left( \frac{2 + x}{2 - x} \cdot \frac{2 - x}{2 + x} \cdot \frac{4x^2}{x^2 - 4} \right) \cdot \left( \frac{2}{2 - x} \cdot \frac{x + 3}{2x - x^2} \right) \]

Bước 1: Rút gọn các phân số trong ngoặc đầu tiên:
\[ \frac{2 + x}{2 - x} \cdot \frac{2 - x}{2 + x} = 1 \]

Bước 2: Rút gọn phân số thứ ba trong ngoặc đầu tiên:
\[ \frac{4x^2}{x^2 - 4} = \frac{4x^2}{(x - 2)(x + 2)} \]

Bước 3: Rút gọn các phân số trong ngoặc thứ hai:
\[ \frac{2}{2 - x} \cdot \frac{x + 3}{2x - x^2} = \frac{2(x + 3)}{(2 - x)(2x - x^2)} \]

Bước 4: Kết hợp các phân số đã rút gọn:
\[ E = 1 \cdot \frac{4x^2}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{2(x + 3)}{(2 - x)(2x - x^2)} \]

Bước 5: Đơn giản hóa biểu thức:
\[ E = \frac{4x^2 \cdot 2(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)(2 - x)(2x - x^2)} \]

Bước 6: Nhận thấy rằng \( (2 - x) = -(x - 2) \), ta có:
\[ E = \frac{4x^2 \cdot 2(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)(-(x - 2))(2x - x^2)} \]
\[ E = \frac{4x^2 \cdot 2(x + 3)}{-(x - 2)^2(x + 2)(2x - x^2)} \]

Bước 7: Đơn giản hóa tiếp:
\[ E = \frac{4x^2 \cdot 2(x + 3)}{-(x - 2)^2(x + 2)(2x - x^2)} \]
\[ E = \frac{8x^2(x + 3)}{-(x - 2)^2(x + 2)(2x - x^2)} \]

Bước 8: Rút gọn biểu thức cuối cùng:
\[ E = \frac{8x^2(x + 3)}{-(x - 2)^2(x + 2)(2x - x^2)} \]

Biểu thức đã được rút gọn tối đa.