Để tìm giá trị của \( n \) trong phương trình \( 5 \cdot 2^{n+1} \cdot 2^{-2} - 2^n = 384 \), ta thực hiện các bước sau:

1. Đơn giản hóa biểu thức:
\[ 5 \cdot 2^{n+1} \cdot 2^{-2} - 2^n = 384 \]

2. Kết hợp các số mũ của 2:
\[ 5 \cdot 2^{(n+1) - 2} - 2^n = 384 \]
\[ 5 \cdot 2^{n-1} - 2^n = 384 \]

3. Đặt \( 2^n = x \):
\[ 5 \cdot 2^{n-1} - 2^n = 384 \]
\[ 5 \cdot \frac{x}{2} - x = 384 \]
\[ \frac{5x}{2} - x = 384 \]

4. Giải phương trình:
\[ \frac{5x}{2} - x = 384 \]
\[ \frac{5x - 2x}{2} = 384 \]
\[ \frac{3x}{2} = 384 \]
\[ 3x = 768 \]
\[ x = 256 \]

5. Quay lại với \( x = 2^n \):
\[ 2^n = 256 \]

6. Tìm \( n \):
\[ 256 = 2^8 \]
\[ n = 8 \]

Vậy giá trị của \( n \) là \( 8 \).