Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

1) Tính giá trị biểu thức \( Q = x^2 - 10x + 1025 \) tại \( x = 1005 \).

Thay \( x = 1005 \) vào biểu thức \( Q \):

\[ Q = (1005)^2 - 10 \cdot 1005 + 1025 \]

Tính từng phần:

\[ (1005)^2 = 1005 \cdot 1005 = 1010025 \]

\[ 10 \cdot 1005 = 10050 \]

Bây giờ, thay các giá trị này vào biểu thức:

\[ Q = 1010025 - 10050 + 1025 \]

\[ Q = 1010025 - 10050 + 1025 = 1000000 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( Q \) tại \( x = 1005 \) là 1000000.

2) Chứng minh đẳng thức: \( (x + y + z)^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 2(xy + yz + zx) \).

Bắt đầu từ vế trái của đẳng thức:

\[ (x + y + z)^2 - x^2 - y^2 - z^2 \]

Mở rộng biểu thức \( (x + y + z)^2 \):

\[ (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx \]

Bây giờ, thay biểu thức này vào vế trái của đẳng thức:

\[ (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) - x^2 - y^2 - z^2 \]

Rút gọn các hạng tử giống nhau:

\[ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx - x^2 - y^2 - z^2 = 2xy + 2yz + 2zx \]

Vậy ta có:

\[ (x + y + z)^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 2(xy + yz + zx) \]

Đẳng thức đã được chứng minh.