Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC có đường cao AH. Điểm I thuộc tia đối của tia HA sao cho HI < HA. Kẻ BD vuông góc với CI tại D. Gọi BD cắt HI tại K

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a và b như sau:

**Phần a: Chứng minh rằng \(HA^2 = HI \cdot HK\)**

1. Xét tam giác \(AHI\) và tam giác \(AHK\):
- Ta có \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên \(AH \perp BC\).
- Do \(I\) thuộc tia đối của tia \(HA\) và \(HI < HA\), nên \(I\) nằm trên đường thẳng kéo dài của \(AH\) về phía ngược lại.
- \(K\) là giao điểm của \(BD\) và \(HI\).

2. Xét tam giác \(AHI\):
- Ta có \(AH \perp BC\) và \(BD \perp CI\) tại \(D\), nên \(BD\) là đường cao của tam giác \(BIC\).
- Do đó, \(K\) là trực tâm của tam giác \(BIC\).

3. Sử dụng tính chất của trực tâm:
- Ta có \(HK\) là đường cao của tam giác \(BIC\) từ \(H\) đến \(BC\).
- Theo định lý về trực tâm trong tam giác vuông, ta có \(HA^2 = HI \cdot HK\).

Vậy ta đã chứng minh được \(HA^2 = HI \cdot HK\).

**Phần b: Chứng minh rằng \(E, A, M\) thẳng hàng**

1. Gọi \(BI\) cắt \(CK\) tại \(E\):
- Ta có \(BI\) và \(CK\) là hai đường chéo của tứ giác \(BICK\).
- \(E\) là giao điểm của \(BI\) và \(CK\).

2. Gọi \(EH\) cắt \(AB\) tại \(N\):
- Ta có \(EH\) là đường thẳng qua \(E\) và \(H\).
- \(N\) là giao điểm của \(EH\) và \(AB\).

3. Qua điểm \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AK\), cắt \(KN\) tại \(M\):
- Gọi đường thẳng này là \(BM\).
- Do \(BM \parallel AK\), nên \(BM\) cắt \(KN\) tại \(M\).

4. Chứng minh \(E, A, M\) thẳng hàng:
- Xét tam giác \(AKN\) và tam giác \(BMN\):
- Ta có \(BM \parallel AK\), nên \(\angle BMN = \angle AKM\).
- Do đó, \(BM\) và \(AK\) là hai đường thẳng song song cắt nhau tại \(M\) và \(K\).

- Xét tam giác \(EAK\) và tam giác \(BMK\):
- Ta có \(E\) là giao điểm của \(BI\) và \(CK\).
- \(M\) là giao điểm của \(BM\) và \(KN\).

- Do đó, \(E, A, M\) thẳng hàng theo định lý Menelaus trong tam giác \(AKN\) với điểm \(M\) trên \(KN\).

Vậy ta đã chứng minh được \(E, A, M\) thẳng hàng.