Để rút gọn biểu thức \( A \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:
\[ A = \left( \frac{\sqrt{x}}{x-4} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x} - 2} \]

### Bước 1: Quy đồng mẫu số trong ngoặc
Ta có:
\[ \frac{\sqrt{x}}{x-4} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}} \]

Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{\sqrt{x}(2 - \sqrt{x}) - 1(x - 4)}{(x-4)(2 - \sqrt{x})} \]

### Bước 2: Rút gọn tử số
\[ \sqrt{x}(2 - \sqrt{x}) - (x - 4) = 2\sqrt{x} - x - x + 4 = 2\sqrt{x} - 2x + 4 \]

### Bước 3: Đưa biểu thức vào dạng phân số
\[ \frac{2\sqrt{x} - 2x + 4}{(x-4)(2 - \sqrt{x})} \]

### Bước 4: Nhân với phân số còn lại
\[ A = \left( \frac{2\sqrt{x} - 2x + 4}{(x-4)(2 - \sqrt{x})} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x} - 2} \]

### Bước 5: Rút gọn biểu thức
Nhận thấy rằng \( \sqrt{x} - 2 = -(2 - \sqrt{x}) \), ta có:
\[ A = \frac{2\sqrt{x} - 2x + 4}{(x-4)(2 - \sqrt{x})} \cdot \frac{2}{-(2 - \sqrt{x})} \]
\[ A = \frac{2\sqrt{x} - 2x + 4}{(x-4)(2 - \sqrt{x})} \cdot \frac{-2}{2 - \sqrt{x}} \]
\[ A = \frac{(2\sqrt{x} - 2x + 4) \cdot (-2)}{(x-4)(2 - \sqrt{x})^2} \]

### Bước 6: Rút gọn tử số và mẫu số
\[ A = \frac{-4\sqrt{x} + 4x - 8}{(x-4)(4 - 4\sqrt{x} + x)} \]

### Bước 7: Đơn giản hóa biểu thức
\[ A = \frac{-4(\sqrt{x} - x + 2)}{(x-4)(x - 4\sqrt{x} + 4)} \]

### Bước 8: So sánh \( A \) với \( A^2 \)
\[ A^2 = \left( \frac{-4(\sqrt{x} - x + 2)}{(x-4)(x - 4\sqrt{x} + 4)} \right)^2 \]

### Kết luận
\[ A \neq A^2 \]

Như vậy, ta đã rút gọn biểu thức \( A \) và so sánh \( A \) với \( A^2 \).