Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và trung điểm. Dưới đây là các bước chi tiết:

### a) Chứng minh \(MN = PQ\)

1. **Tính chất của trung điểm:**
- M là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = MB\).
- N là trung điểm của \(CD\) nên \(CN = ND\).

2. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau: \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\).
- Đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

3. **Xét đoạn \(MN\):**
- \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) tương ứng.
- Do \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\), đoạn \(MN\) sẽ song song và bằng nửa đoạn \(AD\).

4. **Xét đoạn \(PQ\):**
- \(P\) là trung điểm của \(AN\) và \(Q\) là trung điểm của \(CM\).
- Do \(AN\) và \(CM\) là các đoạn thẳng nối từ các đỉnh của hình bình hành đến các trung điểm của các cạnh đối diện, chúng sẽ có tính chất đối xứng và song song với các cạnh của hình bình hành.

5. **So sánh \(MN\) và \(PQ\):**
- \(MN\) là đoạn nối trung điểm của hai cạnh đối diện của hình bình hành, do đó \(MN\) song song và bằng nửa đoạn \(AD\).
- \(PQ\) cũng là đoạn nối trung điểm của hai đoạn thẳng đối diện trong hình bình hành, do đó \(PQ\) cũng song song và bằng nửa đoạn \(AD\).

=> Từ các tính chất trên, ta có \(MN = PQ\).

### b) Chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành

1. **Tính chất của tứ giác \(MNPQ\):**
- \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
- \(P\) và \(Q\) là trung điểm của \(AN\) và \(CM\).

2. **Chứng minh các cạnh đối song song:**
- \(MN\) song song với \(PQ\) và \(MN = PQ\) (đã chứng minh ở phần a).
- Xét các đoạn \(MP\) và \(NQ\):
- \(MP\) nối trung điểm của \(AB\) và \(AN\), do đó \(MP\) song song với \(BD\).
- \(NQ\) nối trung điểm của \(CD\) và \(CM\), do đó \(NQ\) cũng song song với \(BD\).

3. **Chứng minh các cạnh đối bằng nhau:**
- Do \(MP\) và \(NQ\) đều song song và bằng nửa đoạn \(BD\), ta có \(MP = NQ\).

=> Từ các tính chất trên, ta có \(MNPQ\) là hình bình hành vì nó có các cạnh đối song song và bằng nhau.

### Kết luận:
- \(MN = PQ\).
- Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.